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關鍵詞:獨立隨機過程;計數系統;歸納法;保險業
概率論是一門應用非常廣泛的學科。在數學史上,它的產生是以帕斯卡和費馬在1654年的七封通信為標志的。由于這些信件中所解決的問題多是與賭博有關的點數問題,因此人們總是把概率論的產生歸功于賭博這項機遇游戲。但考古學發現告訴我們,賭博游戲早在文明初期就已經存在了,迄今已有幾千年的歷史,而概率論從誕生至今不過三百余年,這說明賭博并不是概率論產生的決定性條件。在從賭博出現到概率論產生之間的這段“空白”期,必定還有一些十分關鍵的因素正在孕育之中。那么這些因素是什么?換句話說,需要具備哪些先決條件,概率論才能得以形成?
一獨立隨機過程的出現
對概率論而言,兩個最主要的概念就是獨立性和隨機性[1]。概率論是從研究古典概型開始的,它所涉及的研究對象是大量的獨立隨機過程。通過對這些過程中出現的問題的解決,概率理論體系才逐漸地建立起來。因此要考察概率論的產生條件,我們首先應當對獨立隨機過程的產生有充分的了解。
事實上,這種過程的雛形早在原始社會就已經存在了,那時的占卜師們使用動物的趾骨作為占卜工具,將一個或多個趾骨投擲出去,趾骨落地后的不同形狀指示神對人事的不同意見。由于投擲趾骨這個過程所產生的結果具有不可預測性,而每次投擲的結果也互不影響,這與我們今天投擲骰子的基本原理相當,因此趾骨可以被看作是骰子的雛形。但是由于趾骨形狀的規則性較差,各種結果出現的機率不完全相同(即不具備等可能性),所以趾骨產生的隨機過程還不是我們今天意義上的獨立隨機過程。加之趾骨作為一種占卜工具,其本身具有神圣的地位,普通人不可能輕易使用,這也在某種程度上阻礙了人們對隨機過程的認識。
隨著社會的進步和文明的發展,骰子變得越來越普遍,不僅數量增多,規則性也日益精良,此時它已不再是一件神圣的器具而逐漸成為普通大眾的日常用具。從原理上看,只要一枚骰子是質地均勻的,它就可以產生一系列標準的獨立隨機過程。這些過程具備良好的性質(獨立性、隨機性、等可能性),是進行概率研究的理想對象。如果經常接觸這些隨機過程,就很有可能從中發現某些規律性。實際上,通過對骰子的研究我們確實發現了一些有趣的現象。在考古出土的骰子當中,有一些被證明是用于賭博的工具,它們的形狀規則而質地卻不均勻,也就是說,骰子的重心并不在其幾何中心。可以想像,如果骰子的某一面較重,則其對面朝上的機率就會增大,這種骰子明顯是為了賭博時用于作弊。而從另一個角度看,如果古代人知道質地不均勻的骰子產生各個結果的可能性不同,那么他們必定清楚一個均勻的骰子產生任何一個結果的機率是相等的。也就是說,經常從事賭博的人必然可以通過大量的游戲過程,意識到擲骰子所得到的結果具有某種規律性,并且這種規律性還可以通過改變骰子的質地而得到相應的改變。雖然古代人的這些意識還只停留在經驗總結的水平上,卻不得不承認這是一種最原始的概率思想。
賭博游戲存在的時間之長、范圍之廣、形式之多令人驚訝。但有如此眾多的人沉迷于這種游戲活動,也在客觀上積累了大量的可供學者進行研究的隨機過程。更為重要的是,
在進行賭博的過程中,或許是受到經濟利益的驅使,已經開始有人試圖解開骰子的奧秘。意大利數學家卡爾達諾就是其中的一位。他本人是個大賭徒,嗜賭如命,但他卻具有極高的數學天分。在賭博的過程中,卡爾達諾充分發揮了他的數學才能,研究可以常勝不輸的方法。據說他曾參加過這樣一種賭法:把兩顆骰子擲出去,以每個骰子朝上的點數之和作為賭的內容。那么,賭注下在多少點上最有利?
兩個骰子朝上的面共有36種可能,點數之和分別為2～12共11種,從上圖可知,7位于此六階矩陣的對角線上,它出現的概率為6/36=1/6,大于其他點數出現的概率,因此卡爾達諾預言說押7最好。這種思想今天看來很簡單,但在當時卻是很杰出的。他還以自己豐富的實踐經驗為基礎,寫成了全面探討賭博的《機遇博奕》(LiberdeLudoAleae英譯為TheBookofGameofChance)一書,書中記載了他研究賭博的全部成果,并且明確指出骰子應為“誠實的”(honest),即六個面出現的機會相等,以便在此基礎上研究擲多粒骰子的等可能結果數[2]。
這些實例充分說明,賭博曾對概率論的產生起過積極的作用。這可能就是人們在談到概率論時總是把它與賭博聯系在一起的緣故吧。但是我們應該認識到,賭博的價值并不在于其作為一種游戲的娛樂作用,而在于這種機遇游戲的過程實際上就是良好的獨立隨機過程。只有出現了獨立隨機過程,概率論才有了最初的研究對象。而概率論也的確是在解決機遇游戲中出現的各種問題的基礎上建立起自己的理論體系的。因此在概率論的孕育期,可以作為一種模型進行研究的機遇游戲過程即獨立隨機過程的出現是概率論得以產生的一個重要前提條件。
二先進計數系統的出現
前面曾經提到,獨立隨機過程的出現并不是概率論誕生的決定性因素。職稱論文僅有概率思想而不能將概率結果表達出來,也不能形成完整的理論。概率論是一門以計算見長的數學分支,計算過程中需要運用大量的加法和乘法原理(組合數學原理)進行純數字運算。對于現代人來說,概率計算并不是一件難事。但是對于16世紀以前的人來說,計算卻是十分困難的,原因就在于古代缺乏簡便的計數系統。當時的計數符號既繁瑣又落后,書寫和使用都很不方便,只能用來做簡單的記錄,一旦數目增大,運算復雜,這些原始的符號就盡顯弊端了。而沒有簡便的計數符號,進行概率計算將是十分困難的事,因此計數符號是否先進也在一定程度上決定著概率論的形成。
對于這一點,現代人可能不容易體會得到,究竟古代的計數符號復雜到什么程度呢?我們可以以古羅馬的計數系統為例來說明。
古羅馬的計數系統是一種現在最為人們熟悉的簡單分群數系,大約形成于紀元前后。羅馬人創造了一種由7個基本符號組成的5進與10進的混合進制記數法,即
IVXLCDM
1510501005001000
在表示其他數字時采取符號重復的辦法,如Ⅲ表示3,XX表示20,CC表示200等。但如果數字較大表示起來就相當復雜了,比如:1999=MDCCCCLXXXXVIIII
后來為了簡化這種復雜的表示法,羅馬人又引進了減法原則,即在一個較大的單位前放一個較小單位表示兩者之差,如Ⅳ表示4,CM表示900,則1999=MCMXCIX
如果要計算235×4=940,現代的豎式是
而公元8世紀時英國學者阿爾琴演算同一道題的過程則要復雜得多:古羅馬數字對于這樣一個既不含分數和小數,數字又很簡單(只有三位數)的乘法運算處理起來尚且如此復雜,可以想象,即使數學家有足夠的時間和耐心,要解決概率計算里涉及的大量純數字運算也是一件太耗費精力的事。在這種情況下想要作出成果,數學家們的時間不是用來研究理論而只能是忙于應付這些繁重的計算工作了。顯然古羅馬的計數系統并不適合于進行計算,而事實上,歐洲的代數學相比幾何學而言遲遲沒能發展起來,很大程度上也是由于受到這種落后的計數系統的限制。不僅僅是古羅馬數字,在人類文明史上出現過的其他幾種計數系統(如古埃及、古巴比倫等的計數系統)也由于符號過于復雜,同樣不能承擔進行大量計算的任務。
相反,以位值制為基本原理的阿拉伯數字則比古羅馬數字以及古代其他的計數系統要先進得多,它不但書寫簡便,而且非常有利于加法、乘法的運算及小數和分數的表示。從上面的例子可以看出,它的使用可以大大節省運算時間,提高運算效率。正是由于使用了這種先進的計數符號,阿拉伯數字的發明者———古印度人的組合數學(組合數學原理是概率計算運用較多的一種數學工具)才得以領先歐洲人許多。據記載,印度人,特別是公元前三百年左右的耆那數學家就由于宗教原因開展了對排列與組合的研究。公元四百年,印度人就已經掌握了抽樣與骰子之間的關系(比歐洲人早一千二百年)。而直到公元8世紀時,商業活動和戰爭才將這種先進的數字符號帶到了西班牙,這些符號又經過了八百年的演化,終于在16世紀定型為今天的樣子。
數字符號的簡單與否對概率論究竟有什么樣的影響,我們不妨舉例說明:
問:有n個人,當n為多少時,至少有兩人生日相同的概率大于二分之一?
假設所有人生日均不相同的概率為P,則
P=(365/365)×(364/365)×⋯×[(365-n+1)/365]
而題中所求之概率P(n)=1-P=1-(365/365)×(364/365)×⋯×[(365-n+1)/365]
通過計算得出結論,當n=23時,P(n)=0.51>0.5,因此答案為23。
這是概率論中著名的“生日問題”,也是一種很典型的概率計算問題。從它的計算過程中我們不難看出,數字運算在概率論中占有重要的地位。如果使用古羅馬的計數法,這樣一個概率問題從表達到計算都會相當繁瑣,以至于它的求解幾乎是不可能的。
對于阿拉伯數字的偉大功績,大數學家拉普拉斯(Laplace)有如下評價:“用不多的記號表示全部的數的思想,賦予它的除了形式上的意義外,還有位置上的意義。它是如此絕妙非常,正是由于這種簡易難以估量⋯⋯我們顯然看出其引進之多么不易?！盵3]阿拉伯數字的出現為概率的表達和計算掃清了阻礙,如果沒有這些簡便的符號,概率論可能還只停留在概率思想的階段。正是由于使用了可以簡潔地表示分數和小數的阿拉伯數字,才使概率思想得以通過形式化的符號清晰地表現出來并逐漸形成理論體系。在概率論的孕育階段,這種形式化的過程是十分必要的,它使得對概率的理解和計算成為可能,因此先進的計數系統對概率論的形成和發展都起著重要的作用。
三概率論產生的方法論基礎———歸納法
除了需要具備上述因素以外,概率論的形成還需要具備歸納思維。概率論是一門具有明顯二重性的理論體系:“一方面它反映了從大量機遇現象中抽象出來的穩定的規律性;另一方面它關系著人們對證明命題的證據或方法的相信程度”。[4]這兩方面特性都以歸納法作為最基本的研究方法,因此可以說,歸納法是概率論的方法論基礎,概率論的產生必須在歸納法被廣泛運用的前提下才成為可能。歸納法雖然是與演繹法同時存在的邏輯方法,但在文藝復興以前,占主導地位的推理方式是演繹思維(不具有擴展性),歸納思維是不受重視的。直到文藝復興運動以后,這種狀況才被打破。歸納法因其具有擴展性而逐漸成為進行科學發現的主導方法。
從演繹到歸納,這個過程實際上是一種思維方式的轉變過程,雖然轉變是在潛移默化中完成的,但轉變本身對概率論的出現卻起著決定性的作用。我們可以通過考察“概率論”(probability)一詞的詞根“可能的”(probable)來說明這種轉變。在古希臘“,probable”并不是今天的這個含義,它曾意味著“可靠的”或“可取的”,比如說一位醫生是“probable”就是指這位醫生是可以信賴的。但到了中世紀,這個詞的含義發生了變化,它已經和權威聯系在一起了。當時的人們在判斷事情的時候不是依靠思考或證據而是盲目地相信權威,相信更早的先人所說的話。在這種情況下,如果說某個命題或某個事件是“probable”,就是說它可以被權威的學者或《圣經》之類的權威著作所證明。而經過了文藝復興之后,人們終于意識到對自然界進行探索(而不是崇拜權威)才是最有價值的事,正如伽利略所說的那樣:“當我們得到自然界的意志時,權威是沒有意義的?！盵5]因此,“probable”才逐漸與權威脫離了關系。15、16世紀時它已經具有了今天的含義“可能的”,不過這種可能性不再是權威而是基于人們對自然界的認識基礎之上的。
“probable”一詞的演化體現了人們認識事物方式的轉變過程。當然這并不是說,文藝復興以前沒有歸納思維。留學生論文當一個人看到天黑的時候他會自然想到太陽落山了,因為每天太陽落山后天都會黑。這種歸納的能力是與生俱來的,即使中世紀的人們思想受到了禁錮,這種能力卻還不至消失。而拋棄了權威的人們比先輩們的進步之處在于,他們是用歸納法(而不是演繹法)來研究自然界和社會現象的。他們將各種現象當作是自然或社會的“特征”,進而把特征看作是某種更深層的內存原因的外在表現。通過使用歸納推理進行研究,他們就可以發現這些內在原因,從而達到揭開自然界奧秘和了解社會運行規律的目的。于是在好奇心的驅使之下,歸納思維被充分地激發出來。而這一點恰恰是概率論得已實現的必要條件。從概率論的第一重特性中可以看出,概率論所研究的對象是大量的隨機現象,如賭博游戲中擲骰子的點數,城市人口的出生和死亡人數等等。這些多數來自于人們社會活動的記錄都為概率論進行統計研究提供了必須的數據資料。雖然這些記錄的收集與整理其目的并不在于發現什么規律,但善于運用歸納思維的人卻能從中挖掘出有價值的研究素材。例如,早在16世紀,意大利數學家卡爾達諾就在頻繁的賭博過程中發現了骰子的某些規律性并在《機遇博奕》一書中加以闡述;17世紀,英國商人J·格龍特通過對定期公布的倫敦居民死亡公告的分析研究,發現了死亡率呈現出的某種規律性[6];萊布尼茲在對法律案件進行研究時也注意到某個地區的犯罪率在一定時期內趨向于一致性。如果沒有很好的歸納分析的能力,想要從大量繁雜的數據中抽象出規律是不可能的。而事實上,在17世紀60年代左右,歸納法作為一種研究方法已經深入人心,多數科學家和社會學家都在不自覺地使用歸納的推理方法分析統計數據。除了上述兩人(格龍特和萊布尼茲)外,統計工作還吸引了如惠更斯、伯努利、哈雷等一大批優秀學者。正是由于許多人都具備了運用歸納法進行推理的能力,才能夠把各自領域中看似毫無秩序的資料有目的地進行整理和提煉,并得到極為相似的結論:隨機現象并不是完全無規律的,大量的隨機現象的集合往往表現出某種穩定的規律性。概率論的統計規律正是在這種情況下被發現的。
概率論的第二重特性同樣離不開歸納法的使用。既然概率論反映的是人們對證明命題的證據的相信程度(即置信度),那么首先應該知道證據是什么,證據從何而來。事實上,證據的獲得就是依靠歸納法來實現的。在對自然界特征的認識達到一定程度的情況下,人們會根據現有的資料作出一些推理,這個推理的過程本身就是歸納的過程。當假設被提出之后,所有可以對其合理性提供支持的材料就成了證據,即證據首先是相對于假設而言的。如果沒有歸納法的使用,證據也就不存在了。由于歸納推理在前提為真的情況下不能確保結論必然為真,因此證據對假設的支持度總是有限的。在這種情況下,使用歸納推理得到的命題的合理性便不能得到充分的保障。而概率論的第二重特性就是針對這個問題的,證據究竟在多大程度上能夠為假設提供支持?這些證據本身的可信度有多少?為解決歸納問題而形成的概率理論對后來的自然科學和邏輯學的發展都起到了重要的作用。
歸納法的使用為概率論的形成提供了方法論基礎。它一方面使得概率的統計規律得以被發現,另一方面,也使概率論本身具有了方法論意義。從時間上看,概率論正是在歸納法被普遍運用的年代開始萌芽的。因此,作為一種具有擴展性的研究方法,歸納法為概率論的誕生提供了堅實的思維保障和方法論保障,在概率論的形成過程中,這種保障具有不容忽視的地位。四社會需求對概率論形成的促進作用
與前面述及的幾點因素相比,社會因素顯然不能作為概率論產生的內在因素,而只能被當作是一種外在因素。但從概率論發展的過程來看,作為一種與實際生活緊密相關的學科,其理論體系在相當大的程度上是基于對社會和經濟問題的研究而形成的,因此對實際問題的解決始終是概率理論形成的一種外在動力。在這一點上,社會因素與概率理論形成了一種互動的關系，它們需要彼此相結合才能得到各自的良好發展。從17、18世紀概率論的初期階段來看,社會經濟的需求對概率論的促進作用是相當巨大的[7]。
在社會需求中,最主要的是來自保險業的需求。保險業早在奴隸社會便已有雛型,古埃及、古巴比倫、古代中國都曾出現過集體交納稅金以應付突發事件的情形。到了14世紀,隨著海上貿易的迅速發展,在各主要海上貿易國先后形成了海上保險這種最早的保險形式。其后,火災保險、人壽保險也相繼誕生。各種保險雖形式各異,但原理相同,都是靠收取保金來分擔風險的。以海上保險為例,經營海上貿易的船主向保險機構(保險公司)交納一筆投保金,若貨船安全抵達目的地,則投保金歸保險機構所有;若途中貨船遭遇意外而使船主蒙受損失,則由保險機構根據損失情況予以船主相應的賠償。這樣做的目的是為了將海上貿易的巨大風險轉由兩方(即船主與保險公司)共同承擔[8]。從這個過程中可以看出,對保險公司而言,只要船只不出事,那么盈利將是肯定的;對船主而言,即使船只出事,也可以不必由自己承擔全部損失。
從性質上看,從事這種事業實際上就是一種賭博行為,兩方都面臨巨大風險。而這種涉及不確定因素的隨機事件恰恰屬于概率論的研究范圍。工作總結由于保險業是一項于雙方都有利的事業,因此在16、17世紀得到了快速的發展,歐洲各主要的海上貿易國如英國、法國、意大利等都紛紛成立保險公司,以支持海上貿易的發展。此外還出現了專門為他人解決商業中利率問題的“精算師”。不過在保險業剛起步的時候,并沒有合理的概率理論為保金的制定提供指導,最初確定投保金和賠償金的數額全憑經驗,因此曾經出現過很長時間的混亂局面。而這樣做的直接后果就是不可避免地導致經濟損失。例如在17世紀,養老金的計算就是一個焦點問題。荷蘭是當時歐洲最著名的養老勝地和避難場所,但其養老金的計算卻極為糟糕,以致政府連年虧損。這種狀況一直持續到18世紀,概率理論有了相當的發展,而統計工作也日漸完善之后,情況才有所改觀[9]。在結合大量統計數據的前提下,運用概率理論進行分析和計算,由此得到的結果才更有可能保證投資者的經濟利益。
我們可以舉一個人壽保險的例子來說明概率理論是如何應用到保險事業中來的:2500個同年齡段的人參加人壽保險,每人每年1月交投保費12元。如果投保人當年死亡,則其家屬可獲賠2000元。假設參加投保的人死亡率為0.002,那么保險公司賠本的概率是多少?
從直觀上看,如果當年的死亡人數不超過15人,則保險公司肯定獲利,反之,則賠本。不過單憑經驗是絕對不行的,必需有一套合理的理論來幫助處理此類問題。根據所給條件,每年的投保費總收入為2500×12=30000(元),當死亡人數n≥15時不能盈利。令所求之概率為P,由二項分布的計算公式可以得出P(n≥15)=0.000069。也就是說,如果按以上條件進行投保并且不出現特別重大的意外,則保險公司有幾乎百分之百的可能性會盈利。
這個問題就是通過將概率理論運用到關于人口死亡的統計結果之上從而得到解決的。這個簡單的例子告訴我們,概率理論對保險業的發展有著相當重要的指導作用。根據統計結果來確定在什么樣的條件下保險公司才能盈利是概率理論對保險業最主要的貢獻,它可以計算出一項保險業務在具備哪些條件的情況下會使保險公司獲得收益,并進而保證保險公司的經營活動進入良性循環的軌道。從另一方面看,最初保險業的快速發展與其不具有基本的理論依據是極不協調的,這很容易導致保險公司由于決策失誤而蒙受經濟損失。因此保險事業迫切需要有合理的數學理論作為指導。在當時的社會環境下,由科學家參與解決實際問題是非常有效的,而由保險所產生的實際問題確實曾吸引了當時眾多優秀數學家的目光。在1700-1800年間,包括歐拉、伯努利兄弟、棣莫弗(deMoivre)、高斯等在內的許多著名學者都曾對保險問題進行過研究,這些研究的成果極大地充實了概率理論本身。
可以說,經濟因素和概率理論在彼此結合的過程中形成了良好的互動關系,一方面數學家們可以運用已有的理論解決現實問題。另一方面,新問題的出現也大大刺激了新理論的誕生。概率論的應用為保險業的合理化、規范化提供了保證,正是由于有了概率論作理論指導,保險業的發展才能夠步入正軌。反過來,保險業所出現的新的實際問題,也在客觀上促進了概率理論的進一步完善。這樣,對于概率論的發展來說,保險業的需求便順理成章地成為了一個巨大的動力。
五總結
概率論的產生就像它的理論那樣是一種大量偶然因素結合作用下的必然結果。首先,賭博這種機遇游戲提供了一種良好的獨立隨機過程,在進行賭博的過程中,最原始的概率思想被激發出來;其次,先進的計數系統為概率思想的表達掃清了阻礙,也使得這些思想得以形式化并形成系統的理論。當然在獲得概率思想的過程中,思維方式的轉變和研究方法的進步才是最根本的關鍵性條件。如果沒有歸納法的使用,即使存在著良好的獨立隨機過程也不可能使人們認識到大量統計數據中所隱藏著的規律性。此外,社會經濟的發展,需要借助數學工具解決許多類似保險金的計算這樣的實際問題,而這些吸引了眾多優秀數學家們興趣的問題對于概率論的形成是功不可沒的,它大大刺激了概率理論的發展,使概率論的理論體系得到了極大的完善。上述四個因素都是概率論產生的重要條件,但是它們彼此之間并沒有明顯的時間上的先后順序,最初它們的發展是各自獨立的,但是隨后這些條件逐漸結合在一起,使得原本零散的概率思想開始系統化、條理化。從概率論的歷史來看,這幾種因素的結合點就是17世紀末至18世紀初,因此概率論在這個時間誕生是很自然的事。
了解概率論的產生條件對于我們理解概率論在當今社會的重大意義有很好的幫助。今天,隨著概率理論的廣泛應用,它已不僅僅是一種用于解決實際問題的工具,而上升為具有重大認識論意義的學科。概率論不僅改變了人們研究問題的方法,更改變了人們看待世界的角度。這個世界不是絕對必然的,它充斥著大量的偶然性,所謂規律也只是在相當的程度上被我們所接受和信任的命題而已。運用概率,我們就可以避免由歸納法和決定論帶來的許多問題和爭論?？茖W發現的確需要偶然性,現代科學向我們證明,概率理念和概率方法已經成為進行科學研究的一項重要手段。
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按照應用性為主的教學目的要求，在概率論與數理統計教學過程中，應該以培養學生應用概率論與數理統計方法解決實際問題的能力為出發點，使學生掌握概率論的基本知識和理解統計方法的基本思想，并將理論的學習轉化成一定的統計應用能力。隨著目前統計工作所面臨的數據日益龐大，傳統教學中的計算公式已經很難使用手工計算的方式進行求解，因此借助于計算機及統計軟件完成統計計算，分析統計結果、做出統計推斷便成為統計教學中不可忽視的一個手段。使用軟件輔助概率論與數理統計的教學能使課程中的數據處理和數值計算更簡易、更精確。伴隨著計算機技術及數學軟件的發展，使得諸多的統計分析借助數學軟件得以實現，如參數估計、假設檢驗、方差分析和回歸分析等計算問題，也無需擔心大量的統計數據帶來的計算量等問題。同時，在高等教育統計教學中應用統計軟件，有利于培養學生學習統計、計算機及軟件等專業課的興趣，提高學生的計算能力和利用專業知識解決實際問題的能力，科學整合統計教學內容，促進統計教學面向社會需要，提升學生的實踐能力。在教學中進行軟件的訓練也能為學生將來的工作打下初步的基礎，為了更好進行概率論與數理統計的教學和實踐，近年來新編教材也增加了數學軟件的內容，在概率論與數理統計課程教學中使用數學軟件已成為改革發展的趨勢。在課堂教學中，為了讓學生加深對理論的理解，實踐環節的設置變得非常關鍵，概率論與數理統計課程中加入數學實驗能很好的填補學生在理論和實踐之間的空白。數學實驗的開展可以在數學教育中體現學生的主體意識，讓學生做到邊學邊用，提高學生學習的趣味性、體現數學教育的時代性。因此，將數學實驗融入概率論與數理統計教學，是概率論與數理統計教學改革中非常值得探討和研究的課題。根據概率論與數理統計課程的特點，數學實驗的內容設計可以和案例教學方法進行有機結合。案例式教學能解決概率知識綜合運用的問題，能豐富課程內容、加深學生對知識的理解。教學案例能將所學知識有機聯系起來，使課程的各部分不再是孤立的，通過對案例設置問題的求解，便能使學生完成由學概率論與數理統計理論到用概率論與數理統計解決問題的轉變。在解決實際問題的過程中輔以軟件進行數值計算試驗，能最大限度發揮軟件的優勢，使學生學以致用，將理論學習與實際應用有機結合起來。在傳統概率論與數理統計教學過程中，概率論與數理統計課程計算量大一直是困擾課堂教學的難點問題，如二項分布，若試驗次數較多，其中的具體概率計算將變得十分復雜。復雜的計算往往使得教師的教學重點發生偏移，側重課后習題計算的處理，使得課程的設計重點偏向排列組合公式的計算。另外在教學過程中，前后知識的聯系對初學者也是一個障礙，比如條件概率等基本公式在討論多元隨機變量時還會用到，但在教學實踐中我們會發現，由于缺少互相聯系的教學實例，學生一般都是將這兩部分分開來學習，不習慣將前面的知識和隨機變量進行有機結合。因此設計恰當的案例，將知識前后貫通是教師面臨的重要任務。
2軟件介紹
在強調學生為主體的實踐式教學設計中，教師設計案例的求解一般要選擇合適的軟件進行輔助，當前數學軟件眾多、功能強大，如綜合性軟件Mat－lab，統計專業軟件SPSS、SAS等。對于專業數學軟件一般要先進行軟件的學習才能用來解決實際問題，對于概率論與數理統計這樣一門獨立的課程，顯然不宜專門來進行軟件的培訓，為了應對實踐教學課堂應用，簡單易學且容易配置的軟件能最大限度實現教學任務。在此以Excel為例介紹案例式教學和利用Excel進行軟件試驗的一點嘗試。Excel使用簡便，基本不涉及程序的編制，在圖形化界面下進行操作，且具備有強大的圖形功能，便于概率結果的呈現和分析。Excel有豐富的概率函數，能幫助用戶進行各種類型的概率計算，或進行隨機模擬來學習概率論與數理統計。Excel可以計算大部分常用理論分布的概率密度函數PDF、累積分布函數CDF以及模擬產生服從常用概率分布的隨機數據。如果能夠正確使用，Excel可以成為非常強大的學習工具。選用Excel作為概率論與數理統計教學輔助軟件的另一個原因是作為微軟Office工具之一，大部分學生均了解Excel的使用，因此不用進行軟件的教學即可用來解決實際問題，在學習過程中也能進一步促進學生對軟件的使用增強他們解決實際問題的能力。下面介紹一個利用Excel輔助的案例式實驗教學設計實例。為了使數學實驗背景貼近學生的學習生活，以考試中選擇題成績分析為例。背景分析：考試是每個學生都經歷的學習過程，其中選擇題是經常遇到的類型，選擇題的設計與概率知識之間有密切的關系。通過與學生密切相關的問題引入概率教學，能極大激發學生的學習興趣。問題設計：選擇題在解答時不同于填空題或者解答題，因為在完全不會的情況下仍有可能靠猜測得到正確的答案，那如何來評估選擇題在考試中的效度，可以使用什么樣的概率論與數理統計的基本知識予以研究？
3實驗教學案例設計
首先提出基本假設，考試時一個選擇題有4個選項，僅有一個選項是正確的，如果不會做就隨機作答，因此在不會做題的情況下隨機選擇答案有25％的可能性得到正確答案，即從卷面上看該題做對了，對于老師來說，按照成績評價學生實際知識水平非常重要，因此需要評估在答案正確的前提下求學生實際會做該題的概率。圖像顯示出選擇題答案正確而顯示被試者會做該題的概率一直大于被試者實際會做該題的概率，說明選擇題容易高估被試者的水平，為了有效區分被試者的不同程度，需要適當調節題目的難度來區分被試者是不是真的會做。作為一個例子，若學生會做與不會做的概率相同，取x＝0．5，則容易計算出P（A｜B）＝0．8，即實際會做概率為0．5時，選擇題表現出來的得分可能為0．8分。對于數學實驗來說，讓學生自己對該案例進一步討論，親自實踐在軟件輔助下的概率解題，對促進學生將理論用于實際非常重要。在課堂講授的基礎上，可以將學生自學內容引申到用隨機變量的分布律和分布函數來研究在實際考試中選擇題得分情況演示，結合二項分布理論研究選擇題對學習評價的情況。評價借助于Excel軟件設計如下實驗。假設某項考試由100道選擇題組成，每道題1分，學生會做該題的概率為x（實際問題中相當于難度系數為1－x），當x＝0的時候，被試者對考試內容完全不會，每題都隨機選擇，可以看成服從參數為（100，0．25）的二項分布，使用Excel中的BINOM－DIST（）函數進行二項分布概率密度值和分布函數值的計算來演示考試結果。函數用法為：BINOM－DIST（k，n，p，FALSE／TRUE），其中k表示回答正確的題目數量，可以使用單元格自動生成，n，p為二項分布的參數。n表示總試驗次數，p表示每次試驗中事件出現的次數即答對題的概率。后面的參數FALSE／TRUE用來說明是計算概率密度函數和是計算分布函數。如BINOMDIST（A2，100，0．25，FALSE）表示對A2單元格中的自變量計算參數為（100，0．25）的二項分布概率密度函數值。使用Ex－cel的自動填充功能，便可方便生成該二項分布的概率密度表。為方便調節二項分布參數，可以將參數（n，p）用單元格的絕對引用代替，改變參數單元格的數值就能得到不同二項分布的概率密度表格。Excel還可以對概率密度表和分布函數表生成條形圖和線圖，若試題難度系數0．5，學生事實會做的題目應該有50道，因此會做的題目有50道，另外不會做的隨機選擇，正確率0．25，因此回答正確的題數為12．5，兩者相加可知最終得62．5分的概率最大。
4結束語
一是課時設置較少，而老師為了完成教學任務，不得不加快速度，知識點沒辦法講細，勢必會造成學生“貪多嚼不爛”;且課程內容較多，如果老師本身的知識結構沉淀不夠，只是“照本宣科”，簡單介紹概念、定義、理論和方法，缺少對實際的概率統計背景知識及發展現狀的介紹，忽視對學生實踐和應用能力的培養，導致所教知識、方法不能被學生接受、及時掌握。二是在應試教育的影響下，學生思維固定，缺乏學習的主動性。許多學生學習的目的是為了考試過關，對于考試涉及不到的課程知識，就只是簡單了解或干脆不學，所以在整個學習過程中，不注重課程思想方法的領悟，只是忙于做題，把學習的目標僅僅定位于能看懂例題，會做課后習題，只關心具體解題的步驟，從而去模仿解題，而不是領會課程知識所呈現的方法。三是教師忽略與相關學科間的關系，只進行單一教材的課堂教學，沒有適當穿插一些相關學科的知識，教學資源不能得到優化配置;教材比較陳舊，理論聯系實際的應用實例較少，即使有一些聯系實際的實例，也不涉及到當今科技信息，導致了學習與實踐的脫節;教師在教學中解決實際問題的能力不夠，理論與實際聯系少之又少，即使有，表現的應用背景也被形式化的演繹一帶而過，學生“霧里看花”，難以琢磨、難以理會，畏懼心理滋生。同時，教材中都是一些聯系很緊湊的理論，以及簡化了過程的證明和計算，學生感覺不到學習樂趣，意義就更談不上了，這也是造成很多學生放棄對這門課程的學習，只背重點、記憶模仿解題應付考試的重要原因。
2問題的解決方案
2．1從整體內容上把握教材
根據《概率論與數理統計》教材，該課程整體上是講述三個大的問題:一是概率論部分，介紹必要的理論基礎;二是數理統計部分，主要講述參數估計和假設檢驗，并介紹了方差分析和回歸分析的方法;三是隨機過程部分，在講清基本知識的基礎上主要討論了平穩隨機過程，是隨機變量的集合，能完全揭示概率的本質。課本上的很多問題都是圍繞這三個問題來講述的，因此，要打破“重理論，輕應用”“重概率，輕統計”的教學思想，且從整體上完整地對這三個問題進行講授。由于概率論與數理統計的知識點多而零散，初學者對知識點不容易全面系統地把握，所以老師在教學中要經常引導學生進行簡單復習回顧，從而使學生能夠高效而快速地理解所學知識，系統掌握這有機結合的三部分內容。
2．2在講授中要有其客觀背景
很多學生雖然在中學接觸過概率知識，但那只是皮毛，大學更注重的是思想的培養，而且本課程從內容到方法與其它數學課程都有本質的區別。因此，老師在講解基本概念時，一定要把來龍去脈講清楚。比如在評價棉花的質量時，“既需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度，平均長度較大，偏離較小，質量較好”，這些常識性知識容易理解，學生也有興趣聽，然后就此引入概念———這是由隨機變量的分布所確定的，能刻畫隨機變量某一方面的特征的常數統稱為數字特征，它在理論和實際應用中都很重要。由此就很自然地引出了數字特征、數學期望、方差、相關系數和矩，這樣學生就很好地理解了概念的實際背景。也就是說，在概念定理的教學中，首先應該在概念、定理產生的背景上下功夫，找出每個概念的實例，用大量事實來說明提出這些概念定理的客觀依據是什么，它在實際應用中有什么意義。比如，一個隨機變量由大量的相互獨立的隨機因素綜合影響而形成，而且其中每一個個別因素在總的影響中所起的作用都是微小的，這種隨機變量往往近似服從正態分布，那么這種現象正是中心極限定理的客觀背景;再如，在介紹隨機過程時，不妨從隨機過程實例出發，如股票和匯率的波動、語音信號、視頻信號、體溫的變化等等。如果忽視了概念與定理產生的實際背景，離開實際去講概念和定理，學生會覺得學習內容枯燥，而且也很難理解，更不會應用于解決實際問題，這樣就降低了學習的積極性，也沒有發揮該課程的功能。
2．3在教學過程中使用案例教學
案例教學的主角是學生，通過學生之間對概念、定義、定理、標注、例題積極主動的討論，以達到更深入理解和掌握的目的。在教學中引入的案例，要能夠激發學生的學習興趣、學習積極性和參與討論的主動性。如何選取案例，就要求教師在備課當中多花時間找資料、思考，在教學案例中盡可能選取社會熱點、先進的科技信息為案例素材，尤其財經類院校應盡可能編寫一些涉及財經信息方面的案例。比如，講到隨機變量內容部分，定要在金融經濟學中編寫涉及到的隨機變量的案例;講到中心極限定理部分，投資學中期權定價理論就是一個很好的案例;講到參數估計和評價時，保險精算中對平均壽命函數的估計和評價則是很好的案例;隨機過程部分，分數布朗運動投資組合的風險度量都是很好的案例等等。如此教學，才能激發學生的學習興趣，在討論中逐步體會基本概念、定義、定理的來龍去脈，實現了有效學習，培養了學生解決實際問題的能力和抽象概括、推理論證的能力。
2．4重視引導學生主動思考問題
培養創新思維“在教學過程中提出一些思考性和啟發性都很強的問題，讓學生分析、研究和討論，引導學生去發現問題，分析問題，然后解決問題。”學生的學習要自覺要靠自己，不是由教師牽著走，而是由教師引導走，“授人與魚，只供一日之炊;授人與漁，使人受益終身”，所以教師應多引導、鼓勵學生主動思考問題。比如，教師在每次課結束前5分鐘進行下堂課新知識的介紹時，對本堂課學的知識點和前面學過的知識做個串聯，最好能隨手畫出知識點“網絡狀”圖，引導學生積極思考，引出下次課要講的內容，勾起學生的預習興趣。再如，在講課時，教師可以針對本節課的內容設計一系列“問題鏈”，用“問題鏈”帶動和完成課堂教學，可很好地引導學生主動思考、創造性思維，引導學生思考、發現問題，討論、做出結論，從而逐步地使教學由“灌輸式教育”向“創新型教育”轉變，教學互動，教學相長。同時，教師一定要想方設法改變“學生被動接受知識”為自主、有興趣地去學習知識，引導和組織學生展開討論，鼓勵學生提出大膽的猜想，及時解決學生提出的問題，激發學生的求知欲，注重教學方法的靈活運用，鼓勵學生動手探究和創新，這樣教學效果才會明顯。
3結語
在教學內容的選編中，所選內容應突出“厚基礎”“重應用”的應用型特色。綜合考慮學生的就業方向，側重論述概念、方法、原理的歷史背景和現實背景在金融等方面的應用，對于冗長難懂的理論證明可以用直觀易懂的現實背景來解釋。例如講解全概率公式時，學生雖可以比較容易地應用，但不容易理解公式的本質，所以并不覺得引入這些公式有什么必要性，大大降低了學生的學習興趣。但如果在課堂引入“敏感事件調查”這個例子，會對經管類的文科學生具有很強的吸引力，從而為學生提高市場調查和問卷設計能力提供有益借鑒。在介紹貝葉斯公式時，可以根據經管類專業，引入貝葉斯公式應用在風險投資中的例子。在介紹期望的概念時，從賭博游戲介紹概念來源的背景，再將期望用到實際生活中去，可以引入其在投資組合及風險管理等方面的應用。這樣能使學生真正理解概率論中許多理論是取之于生活而用之于生活，并能自覺將理論運用到生活中去。在介紹極大似然思想時，可以從學生和獵人一起打獵的案例進行引入。
2設計趣味案例，激發學生學習興趣2015年1月5日
隨著互聯網的迅猛發展、電腦的普及、各種游戲軟件的開發，很多大學生喜歡在網上玩游戲。教師可以抓住大學生愛玩游戲這一特點，況且概率論的起源就來源于賭博游戲，教師可以在講授知識時，由一個游戲出發，循循誘導學生從興趣中學到知識，再應用到生活中去。例如，在講解期望定義時，可以設計這樣的一個游戲案例:假設手中有兩枚硬幣，一枚是正常的硬幣，一枚是包裝好的雙面相同的硬幣(即要么都是正面，要么都是反面，在拋之后才可以拆開看屬于哪種)。現在讓學生拿著這兩枚硬幣共拋10次，一次只能拋一枚，拋到正面就可以獲利1元錢，反面沒有獲利，問學生選擇怎樣一種拋擲組合，才能使預期收益最大?教師留給學生思考的時間，然后隨機抽一位同學回答，并解釋其理由。大部分學生選擇先拋后面那枚硬幣，如果發現兩面都是正面，那么后面9次都拋這枚，如果是反面，那后面9次都拋前面那枚硬幣。這種拋擲組合確實是最優的，但總是說不清其中的道理來。這時教師可以向學生解釋，其實大家在潛意識中已經用到了期望，然后利用期望的定義為大家驗算不同拋擲組合的期望值來說明大家選的組合確實是最優的，這時學生豁然開朗，理解了期望的真正含義。游戲可以繼續，如果將若干個包裝好的非正常硬幣裝入一個盒子里，比如將5枚雙面都是反面的、1枚雙面都是正面的硬幣裝入盒子里，學生從中摸一個硬幣出來，再和原來那枚正常的硬幣一起共拋10次，也可以選擇不摸硬幣，直接用手中正常硬幣拋10次。這個時候，原來那種拋擲組合還是最優的嗎;如果再改變箱子中兩種硬幣的比例，比如9枚雙面是反的，1枚雙面都是正的，結果又是怎樣等等，這些問題可以留給學生課后思考，并作為案例分析測試題。按照上述設計教學案例，不僅讓學生輕松學到知識，激發學生學習的能動性，還可以提高學生自己動手解決實際問題的能力，培養學生的創新能力。
3精選實用型案例，引導學生學以致用
如在講解全概率公式時引入摸彩模型，中獎的概率是否與抽獎的先后順序有關。利用全概率公式可以證明與順序無關，大家機會是平等的。又如講解事件獨立性可以引入比賽局數制定的案例，如果你是強勢的一方，是采取三局兩勝制還是五局三勝制，這個例子也可以用大數定理來解釋，n越大，越能反映真實的水平。又如設計車門高度問題，公共汽車車門的高度是按成年男性與車門頂頭碰頭機會在0．01以下來設計的:設某地區成年男性身高(單位:cm)X～N(170，36)，問車門高度應如何確定?這個用正態分布標準化查表可解決。合理配備維修工人問題:為了保證設備正常工作，需配備適量的維修工人(工人配備多了就浪費，配備少了又要影響生產)，現有同類型設備300臺，各臺工作是相互獨立的，發生故障的概率都是0．01。在通常情況下一臺設備的故障可由一個人來處理(我們也只考慮這種情況)，問至少需配備多少工人，才能保證設備發生故障不能及時維修的概率小于0．01?這樣的問題在企業和公司經常會出現，我們用泊松定理或中心極限定理就可以求出。學生參與到實際問題中去，解決了問題又學到了知識，從而有成就感，學習就有了主動性。
4運用多媒體及統計軟件進行經典案例分析
在概率統計教學中，實際題目信息及文字很多，需要利用統計軟件及現代化媒體技術。其一，采用多媒體教學手段進行輔助教學，可以使教師節省大量的文字板書，避免很多不必要的重復性勞動中，從而教師就可以將更多的精力和時間用于闡釋問題解決的思路，提高課堂效率和學生學習的實際效果，有效地進行課堂交流。其二，使用圖形動畫和模擬實驗作為輔助教學手段，可以讓學生更直觀地理解一些抽象的概念和公式。如采用多媒體教學手段介紹投幣試驗、高爾頓板釘實驗時，可以使用小動畫，在不占用過多課堂教學時間的同時，又能增添課堂的趣味性。而在分析與講解泊松定理時，利用軟件演示二項分布逼近泊松分布，既形象又生動。如果在課堂教學中使用Mathematica軟件演示大數定律和中心極限定理時，就可將復雜而抽象的定理轉化為學生對形象的直觀認識，以使教學效果顯著提高。在處理概率統計問題過程中，我們經常會面對大量的數據需要處理，可以利用Excel，SPSS，Matlab，SAS等軟件簡化計算過程，從而降低理論難度。不僅如此，在教師使用與演示軟件的過程中，學生了解到應用計算機軟件能夠將所學概率論與數理統計知識用于解決實際問題，從而強烈激發學生學習概率知識的興趣。
5結合實驗教學，培養學生應用技能
關鍵詞：概率論；教學；思維方法
在數學的歷史發展過程中出現了3次重大的飛躍．第一次飛躍是從算數過渡到代數，第二次飛躍是常量數學到變量數學，第三次飛躍就是從確定數學到隨機數學．現實世界的隨機本質使得各個領域從確定性理論轉向隨機理論成為自然；而且隨機數學的工具、結論與方法為解決確定性數學中的問題開辟了新的途徑．因此可以說，隨機數學必將成為未來主流數學中的亮點之一．概率論作為隨機數學中最基礎的部分，已經成為高校中很多專業的學生所必修的一門基礎課．但是教學過程中存在的一個主要問題是：學生們往往已經習慣了確定數學的學習思維方式，認為概率中的基本概念抽象難以理解，思維受限難以展開．這些都使得學生對這門課望而卻步，因此如何在概率論的教學過程中培養學生學習隨機數學的思維方法就顯得十分重要．本文擬介紹我們在該課程教學中的改革嘗試，當作引玉之磚．1將數學史融入教學課堂在概率論教學過程當中，介紹相關的數學史可以幫助學生更好地認識到概率論不僅是“陽春白雪”，而且還是一門應用背景很強的學科．比如說概率論中最重要的分布——正態分布，就是在18世紀，為解決天文觀測誤差而提出的．在17、18世紀，由于不完善的儀器以及觀測人員缺乏經驗等原因，天文觀測誤差是一個重要的問題，有許多科學家都進行過研究．1809年，正態分布概念是由德國的數學家和天文學家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德國數學家高斯（Gauss）率先將正態分布應用于天文學研究，指出正態分布可以很好地“擬合”誤差分布，故正態分布又叫高斯分布．如今，正態分布是最重要的一種概率分布，也是應用最廣泛的一種連續型分布．在1844年法國征兵時，有許多符合應征年齡的人稱自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，這里面一定有人為了躲避兵役而說謊．果然，比利時數學家凱特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服從正態分布的法則，把應征人的身高的分布與一般男子的身高分布相比較，找出了法國2000個為躲避征兵而假稱低于最低身高要求的人[1]．在大學階段，我們不僅希望通過數學史在教學課堂中的呈現來引起學生學習概率論這門課程的興趣，更應側重讓學生通過興趣去深入挖掘數學史，感受隨機數學的思想方法[2]．我們知道概率論中的古典概型要求樣本空間有限，而幾何概型恰好可以消除這一條件，這兩種概型學生理解起來都很容易．但是繼而出現的概率公理化定義，學生們總認為抽象、不易接受．尤其是概率公理化定義里出現的σ代數[3]
這一概念：設Ω為樣本空間，若Ω的一些子集所組成的集合?滿足下列條件：（1）Ω∈?；（2）若A∈?，則A∈?；（3）若∈nA?，n=1,2,??，則∈∞=nnA∪1?，則我們稱?為Ω的一個σ代數．為了使學生更好的理解這一概念，我們可以引入幾何概型的一點歷史來介紹為什么要建立概率的公理化定義，為什么需要σ代數．幾何概型是19世紀末新發展起來的一種概率的計算方法，是在古典概型基礎上進一步的發展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸．1899年，法國學者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”[3]，矛頭直指幾何概率概念本身．這個悖論是：給定一個半徑為1的圓，隨機取它的一條弦，問：
弦長不小于3的概率為多大？對于這個問題，如果我們假定端點在圓周上均勻分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中點在直徑上均勻分布，所求概率為1/2；又若假定弦的中點在圓內均勻分布，則所求概率又等于1/4．同一個問題竟然會有3種不同的答案，原因在于取弦時采用了不同的等可能性假定！這3種答案針對的是3種不同的隨機試驗，對于各自的隨機試驗而言，它們都是正確的．因此在使用“隨機”、“等可能”、“均勻分布”等術語時，應明確指明其含義，而這又因試驗而異．也就是說我們在假定端點在圓周上均勻分布時，就不能考慮弦的中點在直徑上均勻分布或弦的中點在圓內均勻分布所對應的事件．換句話講，我們在假定端點在圓周上均勻分布時，只把端點在圓周上均勻分布所對應的元素看成為事件．現在再來理解σ-代數的概念：對同一個樣本空間Ω，?1={?,Ω}為它的一個σ代數；設A為Ω的一子集，則?2={?,A,A,Ω}也為Ω的一個σ代數；設B為Ω中不同于A的另一子集，則?3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,Ω}也為Ω的一個σ代數；Ω的所有子集所組成的集合同樣能構成Ω的一個σ代數．當我們考慮?2時，就只把元素?2的元素?，A，A，Ω當作事件，而B或AB就不在考慮范圍之內．由此σ代數的定義就較易理解了．2廣泛運用案例教學法案例與一般例題不同，它有產生問題的實際背景，并能夠為學生所理解．案例教學法是將案例作為一種教學工具，把學生引導到實際問題中去，通過分析和討論，提出解決問題的基本方法和途徑的一種教學方法．我們可以從直觀性、趣味性和易于理解的角度把概率論基礎知識加以介紹．我們在講條件概率一節時可以先介紹一個有趣的案例——“瑪麗蓮問題”：十多年前，美國的“瑪利亞幸運搶答”
電臺公布了這樣一道題：在三扇門的背后（比如說1號、2號及3號）藏了兩只羊與一輛小汽車，如果你猜對了藏汽車的門，則汽車就是你的．現在先讓你選擇，比方說你選擇了1號門，然后主持人打開了剩余兩扇門中的一個，讓你看清楚這扇門背后是只羊，接著問你是否應該重新選擇，以增大猜對汽車的概率？
由于這個問題與當前電視上一些娛樂競猜節目很相似，學生們就很積極地參與到這個問題的討論中來．討論的結果是這個問題的答案與主持人是否知道所有門背后的東西有關，這樣就可以很自然的引出條件概率來．在這樣熱烈的氣氛里學習新的概念，一方面使得學生的積極性高漲，另一方面讓學生意識到所學的概率論知識與我們的日常生活是息息相關的，可以幫助我們解決很多實際的問題．因此在介紹概率論基礎知識時，引進有關經典的案例會取得很好的效果．例如分賭本問題、庫存與收益問題、隱私問題的調查、概率與密碼問題、17世紀中美洲巫術問題、調查敏感問題、血液檢驗問題、1992年美國佛蒙特州州務卿競選的概率決策問題，以及當前流行的福利彩票中獎問題，等等[4]．概率論不僅可以為上述問題提供解決方法，還可以對一些隨機現象做出理論上的解釋，正因為這樣，概率論就成為我們認識客觀世界的有效工具．比如說我們知道某個特定的人要成為偉人，可能性是極小的．之所以如此，一個原因是由于某人的誕生是一系列隨機事件的復合：父母、祖父母、外祖父母……的結合、異性的兩個生殖細胞的相遇，而這兩個細胞又必須含有某些產生天才的因素．另一個原因是嬰兒出生以后，各種偶然遭遇在整體上必須有利于他的成功，他所處的時代、他所受的教育、他的各項活動、他所接觸的人與事以及物，都須為他提供很好的機會．雖然如此，各時代仍然偉人輩出．一個人成功的概率雖然極小，但是幾十億人中總有佼佼者，這就是所謂的“必然寓于偶然之中”的一種含義．如何用概率論的知識解釋說明這個問題呢？設某試驗中事件A出現的概率為ε，0<ε<1，不管ε如何小，如果把這試驗不斷獨立重復做任意多次，那么A遲早會出現1次，從而也必然會出現任意多次．這是因為，第一次試驗A不出現的概率為(1?ε)n，前n次A都不出現的概率為1?(1?ε)n，當n趨于無窮大時，此概率趨于1，這表示A遲早出現1次的概率為1．出現A以后，把下次試驗當作第一次，重復上述推理，可見A必然再出現，如此繼續，可知A必然出現任意多次．因此，一個人成為偉人的概率固然非常小，但是千百萬人中至少有一個偉人就幾乎是必然的了[5]．3積極開展隨機試驗隨機試驗是指具有下面3個特點的試驗：
（1）可以在相同的條件下重復進行；（2）每次試驗的可能結果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結果；（3）進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現．在講授隨機試驗的定義時，我們往往把上面3個特點一一羅列以后，再舉幾個簡單的例子說明一下就結束了，但是在看過一期國外的科普短片以后，我們很受啟發．節目內容是想驗證一下：當一面涂有黃油，一面什么都沒有涂的面包從桌上掉下去的時候，到底會哪一面朝上？令我們沒有想到的是，為了讓試驗結果更具說服力，實驗人員專門制作了給面包涂黃油的機器，以及面包投擲機，然后才開始做試驗．且不論這個問題的結論是什么，我們觀察到的是他們為了保證隨機試驗是在相同的條件下重復進行的，相當嚴謹地進行了試驗設計．我們把此科普短片引入到課堂教學中，結合實例進行分析，并提出隨機試驗的3個特點，學生接受起來十分自然，整個教學過程也變得輕松愉快．因此，我們在教學中可以利用簡單的工具進行實驗操作，盡可能使理論知識直觀化．比如全概率公式的應用演示、幾何概率的圖示、隨機變量函數的分布、數學期望的統計意義、二維正態分布、高爾頓釘板實驗等，把抽象理論以直觀的形式給出，加深學生對理論的理解．但是我們不可能在有限的課堂時間內去實現每一個隨機試驗，因此為了有效地刺激學生的形象思維，我們采用了多媒體輔助理論課教學的手段，通過計算機圖形顯示、動畫模擬、數值計算及文字說明等，建立一個圖文并茂、聲像結合、數形結合的生動直觀的教學環境，從而拓寬學生的思路，有利于概率論基本理論的掌握．與此同時，讓學生在接受理論知識的過程中還能夠體會到現代化教學的魅力，達到了傳統教學無法實現的教學效果[6]．4引導學生主動探索傳統的教學方式往往是教師在課堂上滿堂灌，方法單一，只重視學生知識的積累．教師是教學的主體，側重于教的過程，而忽視了教學是教與學互動的過程．相比較而言，現代教學方法更側重于挖掘學生的學習潛能，以最大限度地發揮及發展學生的聰明才智為追求目標．例如，在給出條件概率的定義以后，我們知道當P(A)>0時，P(B|A)未必等于P(B)．但是一旦P(B|A)=P(B)，也就說明事件A的發生不影響事件B的發生．同樣當P(B)>0時，若P(A|B)=P(A)，就稱事件B的發生不影響事件A的發生．因此若P(A)>0，P(B)>0，且P(B|A)=P(B)與P(A|B)=P(A)兩個等式都成立，就意味著這兩個事件的發生與否彼此之間沒有影響．我們可以讓學生主動思考是否能夠如下定義兩個事件的獨立性：
定義1：設A，B是兩個隨機事件，若P(A)>0，P(B)>0，我們有P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A)，則稱事件A與事件B相互獨立．接下來，我們可以繼續引導學生仔細考察定義1中的條件P(A)>0與P(B)>0是否為本質要求？事實上，如果P(A)>0，P(B)>0，我們可以得到：
P(B|A)=P(B)?P(AB)=P(A)P(B)?P(A|B)=P(A)．但是當P(A)=0，P(B)=0時會是什么情況呢？由事件間的關系及概率的性質，我們知道AB?A，AB?B，因此P(AB)=0=P(A)P(B)，等式仍然成立．所以我們可以舍去定義1中的條件P(A)>0，P(B)>0，即如下定義事件的獨立性：
定義2：設A，B為兩隨機事件，如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱A，B為相互獨立的事件，又稱A，B相互獨立．很顯然，定義2比定義1更加簡潔．在這個定義的尋找過程中，我們不僅能夠鼓勵學生積極思考，而且可以很好地培養和鍛煉學生提出問題、分析問題以及解決問題的能力，從而體會數學思想，感受數學的美．5結束語通過實踐我們發現，將數學史引入課堂既能讓學生深入了解隨機數學的形成與發展過程，又切實感受到隨機數學的思想方法；把案例應用到教學當中以及在課堂上開展隨機試驗可以將概率論基礎知識直觀化，增加課程的趣味性，易于學生的理解與掌握；引導學生主動探索可以強化教與學的互動過程，激發學生用數學思想來解決概率論中遇到的問題．
總之，在概率論的教學中，應當注重培養學生建立學習隨機數學的思維方法.通過教學手段的多樣化以及豐富的教學內容加深學生對客觀隨機現象的理解與認識．另外，要以人才培養為本，實現以教師為主導，學生為主體的主客體結合的教學思想，將培養學生實踐能力、創新意識與創新能力的思想落到實處，以期達到學生受益最大化的目標，為學生將來從事經濟、金融、管理、教育、心理、通信等學科的研究打下良好的基礎．
［參考文獻］
[1]C·R·勞．統計與真理[M]．北京：科學出版社，2004．
[2]朱哲，宋乃慶．數學史融入數學課程[J]．數學教育學報，2008，17（4）：11–14．
[3]王梓坤．概率論基礎及其應用[M]．北京：北京師范大學出版社，2007．
[4]張奠宙．大千世界的隨機現象[M]．南寧：廣西教育出版社，1999．
關鍵詞：概率論；教學；思維方法
在數學的歷史發展過程中出現了3次重大的飛躍．第一次飛躍是從算數過渡到代數，第二次飛躍是常量數學到變量數學，第三次飛躍就是從確定數學到隨機數學．現實世界的隨機本質使得各個領域從確定性理論轉向隨機理論成為自然；而且隨機數學的工具、結論與方法為解決確定性數學中的問題開辟了新的途徑．因此可以說，隨機數學必將成為未來主流數學中的亮點之一．概率論作為隨機數學中最基礎的部分，已經成為高校中很多專業的學生所必修的一門基礎課．但是教學過程中存在的一個主要問題是：學生們往往已經習慣了確定數學的學習思維方式，認為概率中的基本概念抽象難以理解，思維受限難以展開．這些都使得學生對這門課望而卻步，因此如何在概率論的教學過程中培養學生學習隨機數學的思維方法就顯得十分重要．本文擬介紹我們在該課程教學中的改革嘗試，當作引玉之磚．
1將數學史融入教學課堂在概率論教學過程當中，介紹相關的數學史可以幫助學生更好地認識到概率論不僅是“陽春白雪”，而且還是一門應用背景很強的學科．比如說概率論中最重要的分布——正態分布，就是在18世紀，為解決天文觀測誤差而提出的．在17、18世紀，由于不完善的儀器以及觀測人員缺乏經驗等原因，天文觀測誤差是一個重要的問題，有許多科學家都進行過研究．1809年，正態分布概念是由德國的數學家和天文學家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德國數學家高斯（Gauss）率先將正態分布應用于天文學研究，指出正態分布可以很好地“擬合”誤差分布，故正態分布又叫高斯分布．如今，正態分布是最重要的一種概率分布，也是應用最廣泛的一種連續型分布．在1844年法國征兵時，有許多符合應征年齡的人稱自己的身高低于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，這里面一定有人為了躲避兵役而說謊．果然，比利時數學家凱特勒（A.Quetlet，1796—1874）就是利用身高服從正態分布的法則，把應征人的身高的分布與一般男子的身高分布相比較，找出了法國2000個為躲避征兵而假稱低于最低身高要求的人[1]．在大學階段，我們不僅希望通過數學史在教學課堂中的呈現來引起學生學習概率論這門課程的興趣，更應側重讓學生通過興趣去深入挖掘數學史，感受隨機數學的思想方法[2]．我們知道概率論中的古典概型要求樣本空間有限，而幾何概型恰好可以消除這一條件，這兩種概型學生理解起來都很容易．但是繼而出現的概率公理化定義，學生們總認為抽象、不易接受．尤其是概率公理化定義里出現的σ代數[3]
這一概念：設Ω為樣本空間，若Ω的一些子集所組成的集合?滿足下列條件：（1）Ω∈?；（2）若A∈?，則A∈?；（3）若∈nA?，n=1,2,??，則∈∞=nnA∪1?，則我們稱?為Ω的一個σ代數．為了使學生更好的理解這一概念，我們可以引入幾何概型的一點歷史來介紹為什么要建立概率的公理化定義，為什么需要σ代數．幾何概型是19世紀末新發展起來的一種概率的計算方法，是在古典概型基礎上進一步的發展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸．1899年，法國學者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”[3]，矛頭直指幾何概率概念本身．這個悖論是：給定一個半徑為1的圓，隨機取它的一條弦，問：
弦長不小于3的概率為多大？對于這個問題，如果我們假定端點在圓周上均勻分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中點在直徑上均勻分布，所求概率為1/2；又若假定弦的中點在圓內均勻分布，則所求概率又等于1/4．同一個問題竟然會有3種不同的答案，原因在于取弦時采用了不同的等可能性假定！這3種答案針對的是3種不同的隨機試驗，對于各自的隨機試驗而言，它們都是正確的．因此在使用“隨機”、“等可能”、“均勻分布”等術語時，應明確指明其含義，而這又因試驗而異．也就是說我們在假定端點在圓周上均勻分布時，就不能考慮弦的中點在直徑上均勻分布或弦的中點在圓內均勻分布所對應的事件．換句話講，我們在假定端點在圓周上均勻分布時，只把端點在圓周上均勻分布所對應的元素看成為事件．現在再來理解σ-代數的概念：對同一個樣本空間Ω，?1={?,Ω}為它的一個σ代數；設A為Ω的一子集，則?2={?,A,A,Ω}也為Ω的一個σ代數；設B為Ω中不同于A的另一子集，則?3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,Ω}也為Ω的一個σ代數；Ω的所有子集所組成的集合同樣能構成Ω的一個σ代數．當我們考慮?2時，就只把元素?2的元素?，A，A，Ω當作事件，而B或AB就不在考慮范圍之內．由此σ代數的定義就較易理解了．2廣泛運用案例教學法案例與一般例題不同，它有產生問題的實際背景，并能夠為學生所理解．案例教學法是將案例作為一種教學工具，把學生引導到實際問題中去，通過分析和討論，提出解決問題的基本方法和途徑的一種教學方法．我們可以從直觀性、趣味性和易于理解的角度把概率論基礎知識加以介紹．我們在講條件概率一節時可以先介紹一個有趣的案例——“瑪麗蓮問題”：十多年前，美國的“瑪利亞幸運搶答”
電臺公布了這樣一道題：在三扇門的背后（比如說1號、2號及3號）藏了兩只羊與一輛小汽車，如果你猜對了藏汽車的門，則汽車就是你的．現在先讓你選擇，比方說你選擇了1號門，然后主持人打開了剩余兩扇門中的一個，讓你看清楚這扇門背后是只羊，接著問你是否應該重新選擇，以增大猜對汽車的概率？
由于這個問題與當前電視上一些娛樂競猜節目很相似，學生們就很積極地參與到這個問題的討論中來．討論的結果是這個問題的答案與主持人是否知道所有門背后的東西有關，這樣就可以很自然的引出條件概率來．在這樣熱烈的氣氛里學習新的概念，一方面使得學生的積極性高漲，另一方面讓學生意識到所學的概率論知識與我們的日常生活是息息相關的，可以幫助我們解決很多實際的問題．因此在介紹概率論基礎知識時，引進有關經典的案例會取得很好的效果．例如分賭本問題、庫存與收益問題、隱私問題的調查、概率與密碼問題、17世紀中美洲巫術問題、調查敏感問題、血液檢驗問題、1992年美國佛蒙特州州務卿競選的概率決策問題，以及當前流行的福利彩票中獎問題，等等[4]．
概率論不僅可以為上述問題提供解決方法，還可以對一些隨機現象做出理論上的解釋，正因為這樣，概率論就成為我們認識客觀世界的有效工具．比如說我們知道某個特定的人要成為偉人，可能性是極小的．之所以如此，一個原因是由于某人的誕生是一系列隨機事件的復合：父母、祖父母、外祖父母……的結合、異性的兩個生殖細胞的相遇，而這兩個細胞又必須含有某些產生天才的因素．另一個原因是嬰兒出生以后，各種偶然遭遇在整體上必須有利于他的成功，他所處的時代、他所受的教育、他的各項活動、他所接觸的人與事以及物，都須為他提供很好的機會．雖然如此，各時代仍然偉人輩出．一個人成功的概率雖然極小，但是幾十億人中總有佼佼者，這就是所謂的“必然寓于偶然之中”的一種含義．如何用概率論的知識解釋說明這個問題呢？設某試驗中事件A出現的概率為ε，0<ε<1，不管ε如何小，如果把這試驗不斷獨立重復做任意多次，那么A遲早會出現1次，從而也必然會出現任意多次．這是因為，第一次試驗A不出現的概率為(1?ε)n，前n次A都不出現的概率為1?(1?ε)n，當n趨于無窮大時，此概率趨于1，這表示A遲早出現1次的概率為1．出現A以后，把下次試驗當作第一次，重復上述推理，可見A必然再出現，如此繼續，可知A必然出現任意多次．因此，一個人成為偉人的概率固然非常小，但是千百萬人中至少有一個偉人就幾乎是必然的了[5]．3積極開展隨機試驗隨機試驗是指具有下面3個特點的試驗：
（1）可以在相同的條件下重復進行；（2）每次試驗的可能結果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結果；（3）進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現．在講授隨機試驗的定義時，我們往往把上面3個特點一一羅列以后，再舉幾個簡單的例子說明一下就結束了，但是在看過一期國外的科普短片以后，我們很受啟發．節目內容是想驗證一下：當一面涂有黃油，一面什么都沒有涂的面包從桌上掉下去的時候，到底會哪一面朝上？令我們沒有想到的是，為了讓試驗結果更具說服力，實驗人員專門制作了給面包涂黃油的機器，以及面包投擲機，然后才開始做試驗．且不論這個問題的結論是什么，我們觀察到的是他們為了保證隨機試驗是在相同的條件下重復進行的，相當嚴謹地進行了試驗設計．我們把此科普短片引入到課堂教學中，結合實例進行分析，并提出隨機試驗的3個特點，學生接受起來十分自然，整個教學過程也變得輕松愉快．因此，我們在教學中可以利用簡單的工具進行實驗操作，盡可能使理論知識直觀化．比如全概率公式的應用演示、幾何概率的圖示、隨機變量函數的分布、數學期望的統計意義、二維正態分布、高爾頓釘板實驗等，把抽象理論以直觀的形式給出，加深學生對理論的理解．但是我們不可能在有限的課堂時間內去實現每一個隨機試驗，因此為了有效地刺激學生的形象思維，我們采用了多媒體輔助理論課教學的手段，通過計算機圖形顯示、動畫模擬、數值計算及文字說明等，建立一個圖文并茂、聲像結合、數形結合的生動直觀的教學環境，從而拓寬學生的思路，有利于概率論基本理論的掌握．與此同時，讓學生在接受理論知識的過程中還能夠體會到現代化教學的魅力，達到了傳統教學無法實現的教學效果[6]．4引導學生主動探索傳統的教學方式往往是教師在課堂上滿堂灌，方法單一，只重視學生知識的積累．教師是教學的主體，側重于教的過程，而忽視了教學是教與學互動的過程．相比較而言，現代教學方法更側重于挖掘學生的學習潛能，以最大限度地發揮及發展學生的聰明才智為追求目標．例如，在給出條件概率的定義以后，我們知道當P(A)>0時，P(B|A)未必等于P(B)．但是一旦P(B|A)=P(B)，也就說明事件A的發生不影響事件B的發生．同樣當P(B)>0時，若P(A|B)=P(A)，就稱事件B的發生不影響事件A的發生．因此若P(A)>0，P(B)>0，且P(B|A)=P(B)與P(A|B)=P(A)兩個等式都成立，就意味著這兩個事件的發生與否彼此之間沒有影響．我們可以讓學生主動思考是否能夠如下定義兩個事件的獨立性：
定義1：設A，B是兩個隨機事件，若P(A)>0，P(B)>0，我們有P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A)，則稱事件A與事件B相互獨立．接下來，我們可以繼續引導學生仔細考察定義1中的條件P(A)>0與P(B)>0是否為本質要求？事實上，如果P(A)>0，P(B)>0，我們可以得到：
P(B|A)=P(B)?P(AB)=P(A)P(B)?P(A|B)=P(A)．但是當P(A)=0，P(B)=0時會是什么情況呢？由事件間的關系及概率的性質，我們知道AB?A，AB?B，因此P(AB)=0=P(A)P(B)，等式仍然成立．所以我們可以舍去定義1中的條件P(A)>0，P(B)>0，即如下定義事件的獨立性：
定義2：設A，B為兩隨機事件，如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱A，B為相互獨立的事件，又稱A，B相互獨立．很顯然，定義2比定義1更加簡潔．在這個定義的尋找過程中，我們不僅能夠鼓勵學生積極思考，而且可以很好地培養和鍛煉學生提出問題、分析問題以及解決問題的能力，從而體會數學思想，感受數學的美．5結束語通過實踐我們發現，將數學史引入課堂既能讓學生深入了解隨機數學的形成與發展過程，又切實感受到隨機數學的思想方法；把案例應用到教學當中以及在課堂上開展隨機試驗可以將概率論基礎知識直觀化，增加課程的趣味性，易于學生的理解與掌握；引導學生主動探索可以強化教與學的互動過程，激發學生用數學思想來解決概率論中遇到的問題．總之，在概率論的教學中，應當注重培養學生建立學習隨機數學的思維方法，通過教學手段的多樣化以及豐富的教學內容加深學生對客觀隨機現象的理解與認識．另外，要以人才培養為本，實現以教師為主導，學生為主體的主客體結合的教學思想，將培養學生實踐能力、創新意識與創新能力的思想落到實處，以期達到學生受益最大化的目標，為學生將來從事經濟、金融、管理、教育、心理、通信等學科的研究打下良好的基礎．
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[4]張奠宙．大千世界的隨機現象[M]．南寧：廣西教育出版社，1999．
《概率論與數理統計》是一門注重理論的數學課程，在教學中讓學生掌握基本理論是必要的，但在教學過程中也不能僅僅以此作為目標。那么，一方面，在教學中我們就要做到有取有舍，基本的定理和公式要講清楚，而對于這些定理和公式的證明可以對學生降低要求，通過多舉例子，多給實際案例，讓學生學會使用這些公式和定理;另一方面，將一部分學時單獨列為實踐學時，目前數學軟件在統計領域的使用非常廣泛，比如常見的:Mtlab、SAS、SPSS等，在教學中將理論與相關數學軟件相結合，進行上機教學。讓學生通過實踐認識到本門學科在實際中如何應用，也讓學生能夠掌握一到兩門數學軟件的使用，方便他們今后專業學習。
二、結合專業，注重案例教學
在地質類專業中，很多實際問題都直接用到了《概率論與數理統計》中的內容，比如:區間估計、假設檢驗、參數估計等，都是在地質類專業教學中常用的數理統計方法。那么，我們在《概率論與數理統計》的課堂教學中就可以有的放矢地將地質類學科中的案例與數理統計中的這些方法相結合，把地質學中的實際問題當作例子在《概率論與數理統計》課堂中進行講解，地質類專業的案例在很多時候就是在具備專業背景下的統計學的應用，用這類問題來替換課本上枯燥的數學例子，一方面可以增強課堂的趣味性，提高學生的學習興趣和積極性，另一方面也為將來學生在專業課中使用概率論與數理統計知識打下基礎，幫助學生順利地完成從基礎課到專業課的自然過渡。
三、將數學建模的思想融入日常教學中
