時間：2023-07-12 16:27:35
序論：在您撰寫高中數學導數的概念及意義時，參考他人的優秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發您的創作熱情，引導您走向新的創作高度。
【關鍵詞】 以問導課；問題驅動理念；高中數學概念課；教學設計
高中學生對數學概念的理解情況將會直接影響高中學生的數學解題能力，然而在實際的數學教學活動中，很多學生存在著數學概念理解能力較差，掌握能力不足等方面的問題，不利于學生數學知識的深入學習.基于以問導課，設計驅動理念下的高中數學課堂教學活動，能夠結合學生的實際學習質量、性格特點開展教學指導活動.文章將結合高中數學概念課教學實際活動進行分析，希望能夠促進高中學生數學學習質量的快速提升.
一、結合課程教學特點，明確問題驅動目標
新課程背景下，高中數學概念課教學活動需要摒棄滿堂“灌輸”的課堂教學模式，教師需要結合《普通高中數學課程標準》中的相關教學內容，明確課堂教學指導目標，基于高中學生認知能力的數學概念課教學設計，能夠在充分激發學生數學學習興趣的基礎上，使學生更好的理解數學概念，為學生數學知識的深入學習奠定良好的基礎.
以問導課，設計驅動教學中，教師需要可以將三維教學目標融入于其中，關注學生學習的過程，關注學生情感的體驗.例如在指導學生學習“曲線與方程”這一項內容中，教師可以將課堂教學內容劃分為四個層次，其一為指導學生學習并理解曲線方程，明確曲線方程的概念，掌握特殊曲線和方程之間的互為表示關系.其二為指導學生明確求曲線方程的基礎步驟，學會自主解答問題.其三為通過不同的平面直角坐標系，對同一曲線方程的影響進行分析，能夠合理建立平面直角坐標系.其四為能夠自主分析一些簡單的曲線方程，學會利用坐標法解答數學問題.
二、靈活設計數學問題，組織學生合作探究
正所謂“興趣是最好的老師”，學生對所學習的數學概念產生興趣，便能夠積極、主動的參與到課堂探究活動中，使高中數學概念課教學產生“事半功倍”的教學效果.“以問導課，設計驅動”問題驅動理念下的高中數學概念課教學設計，可以結合學生的性格特點，靈活設計數學問題，教師可以將學生劃分為若干個小組并為學生布置探究任務，使學生能夠通過小組合作探究的方式進行學習，在營造良好課堂教學氛圍的基礎上，也能夠有效提升高中數學概念課教學的質量.
教師可以將前后座的4名學生分為一個小組，為學生布置各式各樣的問題，引導學生進行合作探究.例如教師可以結合學生的實際生活提出問題，如“你想邀請朋友到××餐廳吃飯，餐廳位置在興華街北二路左側20米，你該怎樣敘述呢？”等問題，學生可以通過建立直角坐標系的方式進行解答，用點與坐標的對應關系來研究曲線與方程的關系.
再如教師也可以為學生布置“畫出兩坐標軸所成角在第一、三象限中的平分線m，并寫出方程；畫出函數y=2x2（-1≤x≤2）的圖像c”.教師可以借助多媒體等信息技術軟件，為學生進行圖像展示，并組織學生借助信息技術進行操作或者在組內借助紙筆進行繪制（詳見圖）.在學生畫完圖像之后，教師可以提出“對照拋物線的一部分C和方程，如果符合某種條件的集合M與C分別和其他方程之間存在著怎樣的聯系？”學生可以與小組成員之間可以相互討論和分析，得出“如果M（x0，y0）是m上的任意一點，那么它到兩個坐標軸的距離是相等的，即為x0=y0，它的坐標（x0，y0）即為方程x-y=0的解.但是如果（x0，y0）是方程x-y=0的解，即為（x0，y0），以此為解的坐標點到兩坐標軸的距離相同，它則在平分線m上，則可以將直線m和方程x-y=0相互聯系.”
三、注重教學語言應用，培養學生數學思維能力
數學概念教學過程中，教師需要在指導學生關注概念形成的同時，指導學生重視知識之間的普遍聯系，培養學生形成一定的數學邏輯思維能力.
多種多樣的數學問題有助于學生思維的啟發，在充分調動學生數學概念探究欲望的基礎上，教師可以通過適當的引申，使學生能夠感受到數學概念與數學概念之間的聯系，并能夠逐漸形成較為完整的數學知識框架結構.
與此同時，教師需要特別注重課堂教學中自身教學語言的應用.相關心理學研究證明，教師課堂教學中的語言將會直接影響學生的聽課質量.所以在高中數學概念教學活動中，教師需要密切關注學生的表情變化，給與學生更多的支持和鼓勵，教師需要多采用“請”、“謝謝”等話語，尊重學生、關心學生.
結束語
新課程背景下，高中數學概念課教學活動可以通過結合課程教學特點，明確問題驅動目標；靈活設計數學問題，組織學生合作探究以及注重教學語言應用，培養學生數學思維能力等方式，不斷提升高中數學課堂教學的質量，促進學生多元智能的發展.
【參考文獻】
[1] 尹麗文. 問題驅動理念下的高中數學概念課教學設計探析――以《曲線與方程》課為例[J] . 學周刊，2013，14：144-146.
關鍵詞：數學課程標準 微積分 內容標準 國際比較研究
一、問題的提出
自20世紀80年代后期以來，在不少主要國家的基礎教育改革中，課程標準或教育標準幾乎不約而同地被放到了一個突出位置上；“標準”一詞一時間成了基礎教育改革，尤其是課程改革的關鍵詞[1]。其中，數學學科作為基礎教育階段的核心學科之一，在國際課程改革中常常首當其沖。數學本身的社會地位以及數學作為一門學科的自身特點，為關于數學的國際比較研究提供了內在的必要條件，數學教育國際比較也因此成為教育國際比較研究的重要領域[2]。
微積分在高中數學課程中有著重要的地位和作用。微積分的創立是數學發展中的里程碑，它的發展及廣泛應用開創了向近代數學過渡的新時期，它為研究變量與函數提供了重要的方法和手段[3]。本文將中、新、韓、日四個國家高中數學課程標準文本中微積分內容標準作為研究對象，深入分析四國高中數學課程中微積分內容標準的異同，從而得出一定結論和啟示，以期為我國已經啟動的高中數學課程標準修訂工作提供一定的參考。
二、研究設計
1.研究對象的選取
考慮到文化背景的相似性以及同為數學教育優質國家[4]，本文選取中國大陸、新加坡、韓國、日本四個國家現行的高中數學課程標準為研究對象。
其中，四國課程標準文本的選取如下：中國：2003年教育部制訂的《普通高中數學課程標準（實驗）》[3][5]。新加坡：2011年教育部的《數學教學大綱》[6]。韓國：2011年教育科學技術部的《數學教育課程》（高中部分）[7]。日本：2009年文部科學省的《高中數學學習指導要領》[8]。
為了行文方便，本文中用到以上文本時均簡稱為“某國標準”。
2.研究思路與方法
本文研究主要基于四國高中數學課程標準文本，針對其中微積分內容標準進行比較分析，尋找共性與差異，在國際視野下審視我國高中微積分內容的特點以及不足之處，進而在保持我國特色的基礎上，借鑒經濟發達國家以及數學教育高成就國家的優勢，更好地認知自己，進而反思自己，促進我國數學教育的發展；主要采用文獻、比較、內容分析等教育研究方法。
三、四國高中數學課程中微積分內容標準的比較與分析
1.內容設置的比較與分析
我國標準中將微積分內容設置在選修1-1的“導數及其應用”以及選修2-2的“導數及其應用”中。選修系列1是為那些希望在人文、社會科學方面發展的學生而設置的，選修系列2則是為那些希望在理工、經濟等方面發展的學生而設置的。系列1、系列2內容是選修系列課程中的基本內容。其中，選修1-1“導數及其應用”包括：導數概念及其幾何意義、導數的運算、導數在研究函數中的應用、生活中的優化問題距離以及數學文化共5個主題；選修2-2“導數及其應用”在此基礎上增加了“定積分與微積分基本定理”主題。
新加坡的大部分初等學院或中心學院都采用A-水平課程，學生可以靈活自主地進行課程選擇。A-水平課程中的數學科目分為Higher1（H1）、Higher2（H2）和Higher3（H3）三個層次。H1教學大綱為希望學習諸如商業、經濟和社會科學等大學課程的學生提供數學基礎；H2教學大綱為學生學習包括數學、物理和工程的大學課程做好充分準備，要求更多的數學內容；H3數學教學大綱提供給在追求學科更好水平和更深程度方面具有天資和激情的學生一個機會。H1層次“微積分”包括：微分學、積分學；H2層次包括：微分學、邁克勞林級數、積分法、定積分以及微分方程；H3層次包括H2層次中的“微積分”以及“微分方程模型”。
韓國數學課程包括兩個部分：第一部分是共同課程（從一年級到九年級），要求所有的學生必須學習相同的必修課程；第二部分是選擇課程（高中一年級到三年級），可以學習有“基本、一般、深化”層次的課程內容，建立有區別的數學課程體系。每個選修科目相對獨立。其中，微積分內容作為兩個單獨科目“微積分Ⅰ”、“微積分Ⅱ”設置在“一般科目”模塊中，微積分Ⅰ是理解數學Ⅰ和數學Ⅱ課程內容的學生可以選修的模塊；微積分Ⅱ是理解了微積分Ⅰ課程內容的學生可以選修的模塊，適合于想升入大學學習以微積分內容為基礎的自然系列（理科）或工學系列（工科）的領域的學生。另有部分內容設置在“深化課程”模塊的“高級數學Ⅱ”中。
日本高中數學課程設置為：數學Ⅰ、數學Ⅱ、數學Ⅲ、數學A、數學B、數學應用。其中，微積分內容數學Ⅱ、數學Ⅲ科目中，數學Ⅱ是用來學習高中數學核心內容和培養廣泛的數學資質和能力，在發展和擴充數學Ⅰ的內容的同時，又考慮進一步學習數學Ⅲ。數學Ⅲ是針對那些對數學有濃厚興趣、欲進一步深入學習數學的學生以及將來從事需要數學專業的學生而開設。
綜上所述，四個國家高中數學課程中微積分的內容設置大致都是分為兩個層次：基礎和深化層次。基礎層次主要是針對今后準備在人文、社會科學方面發展的學生而設置的，例如我國的選修系列1-1、新加坡的H1課程、韓國的微積分Ⅰ課程以及日本的數學Ⅱ課程中的微積分內容；深化層次則主要是針對今后準備在理工等方面發展的學生而設置的，例如我國的選修系列2-2、新加坡的H2課程、韓國的微積分Ⅱ課程以及日本的數學Ⅲ課程中的微積分內容。值得一提的是，新加坡還專門針對“有數學天賦并對數學懷有熱情的學生”而設置了H3課程。
2.基本內容的比較與分析
（1）基本內容分布概況
本文以各國標準文本中內容標準最小整句（內容條目）作為基本單位進行編碼，從微積分內容在整個高中數學課程中的比重以及微積分內容在微分學、積分學以及其他三個方面的比重分別進行統計與分析。
一方面，四國標準中微積分內容在整個高中數學課程中的比重各不相同。
我國文科數學課程內容標準共有內容條目144條，其中微積分內容9條，占高中全部課程內容的6%；理科數學課程內容標準共有內容條目159條，其中微積分內容11條，占高中全部課程內容的7%。而其他三國中微積分內容比重最高的是新加坡H3課程，高達44%；比重最低的是日本課程，也達19%。由此可見，我國微積分內容在四國高中數學課程中比重明顯偏少。
另一方面，四國標準中微積分內容在三個子內容領域（微分學、積分學、其他）中分布也各不相同。
可以發現：我國文科微積分內容中微分學比重最高（89%），同時也是唯一不包含積分學內容的；我國理科微分學比重僅次于文科比重（73%），積分學比重相比于其他三國也是最低的（9%）。對于其他三國而言，微分學比重最高的是韓國（68%），比重最低的是新加坡H3（19%）；積分學比重最高的是新加坡H1（44%），比重最低的是韓國（23%）。
進一步分析，我國微積分內容明顯傾向于微分學，文科甚至不涉及積分學；而理科的積分學相比其他國家也為最少，雖然涉及到“其他”，也僅僅是有關微積分歷史的數學文化類內容以及微積分基本定理。
（2）微分學的基本內容
導數的概念是微積分的核心概念之一，它有著極其豐富的實際背景和廣泛的應用。我國標準選修1-1、2-2中的微積分內容均是以“導數及其應用”主題呈現的，包括導數概念及其幾何意義、導數的運算、導數在研究函數中的應用以及生活中的優化問題舉例四個部分。但是2-2要求比1-1要求高。比如，在“導數的運算”中，1-1僅要求“能根據導數定義，求函數y=c，y=x，y=x2，y=■的導數”，2-2除了要求上述四類函數，還要求簡單三次函數y=x3以及無理函數y=■的導數。又如，在“導數在研究函數中的應用”中，2-2在1-1內容的基礎上還增加了“體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性”。
新加坡標準H1課程中，微分學內容主要包括導數概念及其幾何意義，函數y=xn、y=ex、y=lnx以及它們與常數的乘積、和、差的導數，求復合函數的導數，導數在研究函數中的應用，利用圖形計算器求給定點處導數的數值解，導數的實際應用等。H2課程中，微分學內容要求比H1要高，較之H1增加了二次導函數大于0（小于0）的圖釋，導函數與原函數圖像的關系；隱函數和含參數函數的求導等。H3中微分學內容由H2中相關內容組成，但是要求和嚴密性比H2更高一個層次。
韓國標準中微分學內容主要包括微積分Ⅰ中的數列的極限、函數的極限與連續、多項函數的微分法（導數、導數的應用）等，微積分Ⅱ中的指數函數與對數函數、三角函數的微分、微分法（各種微分法、導數的應用）等，高級數學Ⅱ中的微分的應用（柯西中值定理）、二元函數的極限和連續、偏微分及其偏微分的應用等。
日本標準中微分學內容主要包括數學Ⅱ中的微分系數與導數、導數的應用，數學Ⅲ中的極限（數列的極限、函數的極限）、導數（函數的四則運算的導數、復合函數的導數、三角函數?指數函數?對數函數的導數）、導數的應用等。
綜上所述，四國均提及的基本知識包括：導數概念及其幾何意義、基本初等函數的導數公式、導數的四則運算法則、簡單復合函數的導數、導數在研究函數中的應用等，都是圍繞微分學核心概念“導數”的基礎知識。我國微分學課程比較注重導數在生活中的應用，四國中僅有我國和新加坡在標準中有明文顯示。然而，就內容廣度、深度來說，我國微分學內容都不及其他三個國家。
（3）積分學的基本內容
我國標準中選修1-1沒有積分學的相關內容；選修2-2提出“初步了解定積分的概念，為以后進一步學習微積分打下基礎”，進一步要求“通過實例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念”。
新加坡標準中H1課程積分學內容主要包括：冪函數、指數函數、對數函數的積分，積分的四則運算法則；簡單復合函數的積分；定積分；定積分的計算；利用圖形計算器求定積分的數值解等。H2、H3課程積分學內容主要包括：一些特殊形式的函數積分，積分方法（換元積分法、分部積分法）；定積分的概念；定積分的計算；含參數曲線所圍面積的計算；旋轉立體圖形體積的計算；使用圖形計算器求解定積分的數值解等。
韓國標準中積分學內容主要包括：不定積分的含義，積分的四則運算法則，窮竭法計算面積和體積，定積分的含義，不定積分與定積分的關系，定積分的應用（曲邊圖形的面積）；積分方法，定積分的應用（立體圖形的體積）；極坐標方程表示的由曲線圍成的領域的面積；旋轉體的體積；旋轉面的面積；瞬間、質量中心等。
日本標準中積分學內容主要包括：不定積分與定積分的含義、積分的四則運算法則、利用定積分求面積；積分方法；求曲線圖形的面積和立體圖形的體積以及曲線的長度等。
綜上所述，我國文科沒有積分學內容要求，理科要求僅僅在于“初步了解定積分的概念”。而其他三國均有的微分學基本內容包括：積分的四則運算法則，簡單函數的積分，積分方法，定積分的概念及其幾何意義，定積分的計算，旋轉立體圖形體積的計算等。就內容的廣度和深度而言，我國積分學內容均不及其他三個國家。例如，新加坡標準還要求含參數曲線所圍區域面積的計算，重視圖形計算器的使用。韓國標準還要求極坐標方程表示的曲線圍成的面積、旋轉曲面的面積等內容。
【關鍵詞】高中導數教學；教學意義；教學設計
導數是高中數學教學內容的重要組成部分，高度總結和概括了函數圖像及其性質，大大減輕了函數最值、單調性、極值教學難度，教學案例的應用在增加學生興趣的同時，提升了導數教學質量.但目前數學教材沒有連續性概念，導致導數教學存在一定難度，因此教學中教師需花費更多精力.
一、高中數學應用導數教學的必要性
導數是數微積分的重要組成部分，是研究現代科學技術的重要手段.導數與函數有著密切聯系，在一定程度上豐富了函數內容.在高中數學教學中應用導數教學有利于學生的后續學習，培養學生邏輯思維，分析解決數學問題，理性理解函數性質，加強與數學有關其他學科的學習.因此在高中教學中開展導數教學十分必要.
新課程改革將微積分作為教學內容列入高中教材，并根據學生各方面發展需要對微積分內容作出了大幅度的調整，教學要求和教學任務也與以往教學有明顯不同.在高中數學學習和教學中，導數成為教學的重點和難點，也是高考的重要考查對象，導數教學在高中數學教學中有著特殊的地位和作用.教師利用導數教學幫助學生解決函數、數列、不等式、幾何等數學問題，簡化數學過程、明確教學重點，提升教學質量.
二、高中導數教學現狀
導數作為高中教學的選修課程，文理科生所學習的導數內容有所不同.但無論是文科生還是理科生對導數的學習和應用都不夠深入，特別是利用導數求解函數參數范圍問題，沒有一定的技巧和學習能力是無法解答的.導數在實際生活、工作中也有廣泛應用，因此要求學生記憶公式，具備一定的計算能力，靈活運用導數解決函數問題.
現有教材沒有連續性的概念，學生難以理解導數概念，教師需要通過逐漸講解讓學生明白如此抽象概念.教學中教師要將幾何畫板與多媒體教學相結合，全面、直觀的展示導數教學內容.通過多次訓練和反復記憶，利用定義推到一些簡單的函數導數，進而解決函數最值、極值、單調性等問題，但仍沒有全面掌握導數概念.
三、高中導數教學設計重點
1.教學目標
①通過導數及其應用教學，向學生展示平均變化率、瞬時變化率的實現過程，了解導數概念，領悟導數思想和內涵；②利用導數解決函數最值、極值、單調性等問題；③了解定積分概念，為以后微積分學習奠定基礎，使學生明白導數可以解決數學問題和生活問題，感受導數教學中的變量教學思想，增強學生利用導數知識和函數思想分析、解決數學問題的能力；④體會導數、微積分對文化和教學發展的意義，培養學生創新意識和創新能力.
2.教學過程
教學過程中要從概念入手，夯實導數學習基礎.導數學習必須先掌握平均變化率和瞬時變化率兩個知識點.
平均變化率教學.利用課本教學實例，使學生理解什么是平均速度，借助平均速度準確描述某一物體某一時間內運動速度，通過對應曲線圖像分析“平與陡”和平均變化率的關系，并根據這一關系總結平均變化率概念.
瞬時變化率教學.教師要讓學生明白瞬時速度是怎樣產生的，進而認識到切線斜率產生過程.借助教學案例讓學生理解瞬時速度概念，在運算過程中逐漸掌握瞬時變化率、切線斜率等知識，為導數學習打下基礎，加強知識靈活運用，深入探討和研究導數教學內容.
3.教學策略
借助導數案例，激發學生興趣.在教授導數概念過程中引用案例，氣溫突增有何數學意義，如何利用曲線刻畫氣溫變化規律，曲線與函數的單調性有何聯系，學生借助類似比值描述曲線變化情況.在導數應用中通過幾個具體的案例，對比分析其共同點，進而得出函數單調性與導數的關系.
加強技巧訓練.利用導數分析函數單調性，求導后得出導函數零點，判斷導函數符號，但此過程需要一定解題技巧.一般將導數化成乘積形式來求解導函數零點或是判斷導函數符號.為了避免學生理解困難和思維混亂，二階導數建議不介紹，如果需要可將二階導數作為一個新函數介紹，并對新函數求導.
實施分層教學.學生由于個體差異，對數學知識掌握能力和問題接受水平各異，教學過程中要加強因材施教、因地制宜教學理念，積極應用于數學課堂教學中.教師按照學生水平選擇不同類型、不同難易程度的習題進行訓練和輔導，并進行針對性的測試，及時總結測試結果，為學生補差補學.
4.教學反思
教師作為教學活動的引導者，許多數學問題是要靠教師的引導.在高中導學教學中，教師要充分發揮引導作用和學生主體地位，制定的教學計劃一定要突出重點，對于難懂的知識點要單獨進行講解.將傳統教學與多媒體結合使用，利用多媒體直觀形象的展示導數概念及應用，借助傳統板書和口頭教學，對重難點知識進行分析，加深學生對知識的理解和記憶.
提出有建設性的問題，注意新舊知識點的銜接，對于學生易混淆的內容要有明確的區分，在同一問題采用多種提問方式，讓學生多側面的考慮問題，培養學生的發散思維.開展主題式教學活動，為學生提供更多自主學習和實踐操作機會，通過合作學習來完成教學任務.把課堂表現與考試成績結合起來，對掌握不牢固的知識點要及時鞏固學習.
四、結 語
導數是一個比較抽象的數學概念，高中導數教學中要采用科學教學方法，結合學科和學生特點，加強平均變化率、瞬時變化率等知識教學，不斷優化教學設計理念和教學過程，發揮教師引導作用和學生主體地位，幾何畫板與多媒體充分結合，采用分層教學手段，注重因材施教，保證導學教學質量.
【參考文獻】
一、明確教學目標
明確的教學目標是開展高中數學教學的前提．莉萊說:“贏得好射手美名，并非由于他的弓箭，而是由于他的目標．”紀伯倫說:“人的意義不在于他所達到的，而在于他所希望達到的(目標)．”由此可見，目標的存在有著重要的意義．隨著教育模式的創新和變革，當前教育界越來越注重學生的素質教育．在高中數學教學中，教師制定教學目標需要考慮素質教育的影響．在設計教學方案時，為了迎合學生的素質發展，教師往往將教學目標設置為三個領域目標，知識技能領域、過程方法領域以及情感態度領域．針對這三個領域分別設定教學目標，并在教學中采取合適的教學方式完成目標，是培養學生的綜合能力的有效策略．例如，在講“導數計算”時，為了培養學生基本的數學能力，提高學生的運用能力，我設計了三方面的教學目標．知識與技能目標:能夠用定義求四個常用函數的導數，熟悉求導數的三個步驟，使學生應用由定義求導數的三個步驟推導四種常見函數y=c、y=x、y=x2、y=1x的導數公式，并能運用這四個公式正確求函數的導數．過程與方法目標:通過本節的學習，掌握利用導數的定義求導數的方法．情感態度目標:通過課堂學習，體會導數與數學知識之間的聯系，培養應用意識，提高對問題的分析能力，明白數學在研究整個自然科學中的重要位置．教學目標設定之后，一切教學活動就要圍繞著教學目標進行．這樣一來，整節課就有了主心骨，讓學生知道自己該干什么，該學什么，提高學生的學習能力．
二、突出教學重點
教學重點是整節課堂中重要的內容．在高中數學教學中，教師要對教材內容進行詳細分析，尤其是教學重點和難點．一節課的主要教學內容就是重難點部分．在教學過程中，教師要將本節課的重點內容列在黑板上，時刻提醒學生，引起學生的重視．教師還要利用豐富的教學工具，強化學生的記憶，刺激學生的大腦．例如，在講“互斥事件”時，我將教學重點設置為互斥事件的概念及其概率的求法．我以探究為主導策略，為學生的探究活動精心創設問題情境，調動學生的積極性和參與性，并對學生的探究結果給出客觀性的評價．此外，我留出部分時間供學生理解和消化所學知識．我提出一個案例問題:在一個盒子內放有10個大小相同的小球，其中有7個紅球，2個綠球，1個黃球，若從盒中摸出1個紅球記為事件A，從盒中摸出1個綠球記為事件B，從盒中摸出1個黃球記為事件C，則事件A、B、C之間存在怎樣的關系?引導學生對這個案例進行分析，使學生在分析的過程中領悟本節課的學習重點———互斥事件的概念及其概率的求法．經過學生的思考和探究，再加上我在課堂上的講解和引導，學生最終明白事件A與B不可能同時發生．這種不可能同時發生的兩個事件叫作互斥事件．突出教學重點，能夠幫助學生提高學習效率，培養學生的綜合能力．
三、創設教學情境
關鍵詞：導數與函數；交匯；命題
中圖分類號：G632.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）01-0166-02
數學是一門具有獨特魅力的學科。在高中數學里我們會學到很多有趣的數學符號以及復雜的函數，當然還有很多復雜的數學問題。高中數學主干知識包括函數與導數、數列、三角函數、證體幾何、解析幾何、概率與統計，這些主干知識足以支撐高中數學知識體系的主要內容，構成了高考數學試卷的主體。在函數與導數這一重點模塊當中便有許多值得探究的問題，為了認清這一模塊，我們將從導數與函數的思想概念、地位以及它們在數學中的應用著手，仔細分析導數與函數間的關系，為此我們作了研究并從例子中分析導數與函數的融會以及它們的作用。本文主要分成兩部分，第一部分在參考了文獻的基礎上對導數與函數的概念及其關系做出了解答，并且詳細地闡釋了導數的思想及其在高中數學中的工具性地位。第二部分是論文的重點部分，在對導數與函數的運用中，通過導數解決單調性問題，通過導數求最值、證明不等式等展開對導數應用方面的詮釋，包括了通過歷年的高考例題來解析導數與函數在高考中的重大作用。
一、理解導數，掌握導數的思想和概念
1.高中數學中的導數概念。導數（導函數的簡稱）是一個特殊函數，它是由平均變化率到瞬時變化率引出和定義的，導數的幾何意義是曲線的割線逼近曲線的切線，它的引出和定義始終貫穿著函數思想。導數可以說是新課程改革與舊課程的一個區分點，也是新教材的一個亮點。因為導數的應用非常廣泛，它是連接高中數學與大學數學的紐帶，用它可以解決許多數學問題。目前，隨著新課程改革的不斷推進，對導數知識考查的能力要求也逐漸提高，而且對導數的考查已經由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析問題和解決問題時的有力工具。
2.高中數學中導數的思想及工具性地位。函數與導數是高中數學的核心內容，在導數應用過程中，要加強對基礎知識的理解，重視數學思想方法的應用，達到優化解題思維、簡化解題過程的目的。而導數已由解決問題的輔助工具上升為解決問題的必不可少的工具，在解決數學問題時使用非常方便，尤其是可以利用導數來解決函數的單調性、極值、最值以及切線問題。
二、函數解題需要導數
1.函數中運用導數的思想。函數中運用導數的思想主要有四種：等階轉化思想、函數與方程思想、分類討論思想和數形結合思想。等階轉化就是“把要解的題轉化為已經解過的題”就是把未知解的題轉化到在已有知識范圍內可解問題的一種重要思想方法。等階轉化在導數及其應用中主要用來解決有關恒成立、函數的單調性等問題。函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題、解決問題。方程問題是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程或不等式），然后通過解方程或不等式來使問題獲解。而函數與方程的思想在導數及其應用中主要用來解決生活中的優化問題以及構造函數證明不等式問題。在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。它在導數及其應用中主要用來求解單調區間、參數問題、極值、最值及恒成立問題等。數形結合思想包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來。數形結合思想在導數及其應用中主要用來解決方程根的問題。因為函數是貫穿中學數學的一條主線，是數學高考考查的重點。而函數是中學數學研究導數的一個重要載體。通常遇到復雜函數的時候難以利用普通的手段進行求解，所以采用對函數求導的方式可以克服此類問題，從而達到從繁化簡的效果。
2.函數中導數的應用。高中數學中導數有很大的作用，主要表現在三個方面。①導數解決單調性問題，當函數表達形式比較復雜，并且用初等函數不能求解的時候，可以考慮使用導數求解的方法，通常可以求出函數的導數，然后再求解導數的不等式。函數f（x）=-（a+1）ln（x+1）其中a≥-f'（x）=ax-1/x+1，a≥-1，可以求f（x）的單調區間。函數f（x）的定義域是（-1，+∞）且函數的導數是f'（x）=ax-1/x+1.可以分成兩個分進行求解，一部分是-1≤a≤0時，f（x）0時，f（x）=0，則無論是導數還是函數，都會隨著x的變化而變化。根據x的取值變化可以化一個表來看函數和導數的變化范圍和區間，由此可見，當a在（-1，+∞）區間變化時，函數是單調遞減的，余下的部分是單調遞增。導數在解題時出現最多的就是分類討論的問題，解決此類問題，需要找到分類點和畫表，根據表格x值得走向來判斷函數是遞增還是遞減。②導數求解函數的最值問題，函數最值的問題也是常考的題型之一，對于閉區間的可導函數求其最值可以先求極值，根據極值與函數進行比較，確定最大值與最小值。函數f（x）=-x3+9x+a，閉區間[-2，2]，最大值為20，給出函數式子求最值。這種問題一般都會有兩個問題：第一個問題，會對函數的單調增減區間進行探討，然后給定一個閉區間求最值，最值包括最大值和最小值。第二個問題，閉區間會給你固定值，并且還會有最大的取值，從計算的過程中看，可以將閉區間兩端的值代入導函數中，求出一個公式，f（x）=-24+a，f（x）=10+a，然后，根據第一問討論的單調遞增與遞減區間的確定，確定其大小值，求解a的值。③導數證明不等式問題，導數證明不等式的問題，最關鍵的步驟要構造函數，利用導數判斷單調性，來證明不等式。利用函數的單調性證明不等式，最關鍵需要構造一個函數，利用相應區間上證明不等式的知識來判斷其單調性。根據以上的分析，可以解決數學的問題，并且也是有效的手段之一，思路很清晰，過程比較簡單，能夠加強導數的教學任務，可以提供一個清晰的思想，一個新的解題方法。
三、從高考命題來解析導數
1.導數在高考上的運用趨勢。近幾年來利用導數與函數、數列、三角函數、向量、不等式、解析幾何等其他知識的交匯進行命題考查學生應用數學知識解決綜合問題的能力已成為高考的一大亮點。因此，在命題上導數充分突顯出其“工具性”的作用，在處理各類交匯性問題上，在處理曲線的切線、函數的最值（極值）及單調性、參數的范圍、實際生活中的優化等問題方面，導數發揮著重大作用，所以導數是高考解答題命題的熱點內容。例1：（重慶·理·16）f（x）=a ln x+1/（2x）+3/2 x+1，其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸.（1）求a的值；（2）求函數f（x）的極值。解：（1）對f（x）求導，故f'（x）=a/x-1/（2x2）+3/2；由于曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸，所以該切線的斜率為0，即f'（1）=0，所以a-1/2+3/2=0，解得a=-1。（2）由（1）知f（x）=ln x+1/（2x）+3/2 x+1，（x>0），則f'（x）=1/x-1/（2x2）+3/2=（3x2-2x-
1）/（2x2）=（3x+1）（x-1）/（2x2），x>0，令f'（x）=0，得x1=1，（x2=-1/3，不在定義域，舍去），當x∈（0，1）時，f'（x）
2.運用導數的解題技巧。①求導后導數的幾個固定形式：a.含分母的導數形式f（x）=（mx2+nx+p）/x，此類導數由含lnx的函數求導得到，所以定義域為（0，+∞），此時導數的正負與分母無關，只要研究g（x）=mx2+nx+p，分m=0及m≠0時Δ與0的關系即可；b.含ex的導數形式，此類導數的正負與ex無關；c.含三角函數的導數形式，利用三角函數的有界性。②二次求導的使用：當遇到含ex的復雜形式函數時可以采用二次求導的方法，例如設函數f（x）=ex-1-x-ax2。若當x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍。一階求導f'（x）=ex-1-2ax，二階求導f''（x）=ex-2a，由于x≥0，所以ex≥1，即2a與1的大小與二階導數與0的關系，而二階導數與0的關系決定一階導數的單調性，若一階導數單調則必有f'（x）≥f'（0）=0成立，從而獲得原函數的單調性。③恒成立的應用：恒成立是導數問題中永恒的話題，歸結為一句話就是恒成立即為求最大值與最小值問題，所以是導數應用的一個最重要的體現。在導數問題中，幾乎所有的最后一問都要涉及到這類恒成立問題。
四、結論
1.重視導數方面的學習，弄清導數的概念。
2.有必要強調導數的工具作用。
3.進一步加深對函數的理解和直觀認識。總之，導數引入中學數學教材后，使傳統中學教學內容注入了新的生機與活力，如何更好地利用導數這一工具來重新認識原中學課程中的有關問題并為解題提供新的途徑和方法已經成為當今中學數學教學要面對的嶄新課題。
隨著時代的發展，特別是適應課程改革和考試改革的需要，數學教學應“與時俱進”，重新審視基礎知識、基本技能和能力的內涵導數作為新增內容，在研究函數的性質中發揮了重要的作用。函數是高中數學的主線，因此導數與高中數學的融會關系將會更近一步。高中數學是高中課堂極為重要的一門功課，在高考中占據很大的分量。導數作為高中數學的重要知識，不僅蘊含著豐富的數學思想，也是一種簡捷而有效的解題工具，對于解決數學問題有極大的幫助，因此本文希望通過導數與函數間解題研究能夠幫助廣大同學更好地學數學。
參考文獻：
[1]王錦.導數在中學數學中的應用[J].學科建設，2012，（8）.
當前，《高等數學》作為高職院校的一門公共基礎課，存在著內容多、學時少的矛盾。微分學和積分學在現有的高職數學教材中占了大量的篇幅。隨著新一輪的高中數學改革，《普通高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱為《標準》）把微分中的導數及導數的應用、積分學中的定積分作為高中學生必須掌握的知識點，也是高考的一個重要考點，所以學生對這部分知識的掌握也相對提高了。然而筆者認為高職數學的教學內容仍然涵蓋此內容，并沒有任何升華，這就導致傳統的內容體系很難滿足現在學生發展的需求。因此，高職數學教材的內容體系應逐步更新，即簡化微分學和積分學的知識，增加線性代數、概率論和數理統計的知識，以達到高職高專教育的“實用為主、夠用為度”的要求，從而體現高職數學的服務功能。
一、高中數學新課標與舊課標內容對比
《標準》將《導數及其應用》這部分內容安排在選修系列1-1的第三章和選修系列2-2的第一章中。雖然是選修內容，但對絕大部分高中學生來說，它依然是必需掌握的知識。選修系列2-2增加了微積分基本定理與定積分的內容，對運算的要求也略有提高。
《標準》對《導數及其應用》的處理與原《大綱》相比，有以下幾點變化：1、突出導數概念的本質，原《大綱》把導數作為一種特殊的極限來講，過于形式化及抽象的概念使學生學習起來比較困難。而《標準》則非常強調對其本質的認識，提高了對導數幾何意義以及用導數處理實際問題的要求。教材讓學生從隨處可見的平均變化率開始，巧妙地通過瞬時變化率引入導數的概念。這樣引入能讓學生更深刻地理解變量數學的本質，有助于學生對函數這一核心概念的深入理解。2、突出了導數在實際問題中的應用，從導數概念的引入到導數的應用，教材都列舉了大量的實例。這些實例恰好是體現導數價值的最好素材，這主要體現在以下幾方面：1、用導數求勻變速運動的瞬時速度；2、用導數處理切線問題；3、用導數研究函數，包括用導數研究函數的單調性、極值和最值，方法較以前的簡便且具有一般性；4、用導數處理生活中的優化問題等。
二、高職數學教材的現狀
現行的高職數學教材從內容展開的層次看，還是按照以前《大綱》的安排：第一章 函數、極限與連續；第二章 導數與微分；第三章 導數的應用；第四章 不定積分；第五章 定積分及其應用；第六章 常微分方程；第七章 向量代數與空間解析幾何；第八章 多元函數微分學；第九章 多元函數積分學；第十章 無窮級數。現行高職數學教材中函數、導數的概念和導數的應用、定積分、數理統計等內容在高中《標準》選修系列2-2，選修系列2-3中占有很大的比重，并規定一學期來學習這部分知識，也是高考的必考內容。
高職院校在數學教學課時安排方面，無論是文科學的《經濟數學》和理科學的《高等數學》都是把“一元函數微積分”作為所有專業的必修模塊，高職院校在第一學期大部分專業開設高職數學，課時定為60學時。第一冊內容包括：函數、極限與連續；導數概念及導數的應用；積分學及其應用。教學計劃安排16課時講解函數、極限與連續，24課時講解積分學及其應用，20課時講解積分學及其應用。這就重復學習了高中《標準》選修系列2-2，選修系列2-3中的數學知識。第二冊的內容包括：多元函數微積分；無窮級數；微分方程；矩陣及其應用。第二學期只有少數專業開設數學課，因此現行高職數學教材內容導致學生浪費大量的時間重復學習高中已經掌握的知識。
三、高職數學教材體系重構的必要性
現行高職數學教材除了導數和定積分概念按慣例簡單介紹了產生背景外，基本是沿用傳統“定義、定理及證明例題”的固定模式，微積分只在部分章節后介紹一點數學概念的經濟意義，片面強調數學技巧，學生無法創造性運用已有的數學知識去解決實際問題。而學生真正需要的與專業知識相聯系的數學知識卻涉及很少。兩者沒有達到有機整合，使學生覺得學習數學課程和專業課程無關聯，無法激發學生學習數學的激情和興趣。
高職教育改革的目的是要緩和學校人才培養模式與社會需求之間的差異和矛盾,更確切地講,是要讓高職院校學生能夠掌握必需的理論知識與實踐技能。就高職數學教育來看,重構數學教材體系的必要性與重要性在于:現行的教材內容的分布不合理，函數、導數概念及導數的應用在高中《標準》中作了詳細的介紹也是高考的考點，不定積分的概念在《標準》中也作了介紹，所以學生對這部分知識掌握得比較好。現在高職數學教材中的微分部分又重復的講解著部分知識。每個學校也安排了大量的課時來學習這部分知識。
四、高職數學教材體系重構的設想
基于上述保持數學的系統性理念及高職數學應該與專業相聯系的基本原則，通過大量調研與實際經驗的基礎上，筆者認為高職數學教材體系重構可以從以下幾個方面著手。
(一)“隨風而動”保持數學的系統性為突出和體現數學的應用性，將新的高職教育數學課程體系確定為“應用數學”課程體系。整合后的課程內容包含：微積分、線性代數、概率論等。
1、微積分部分：由于高中《標準》對學生掌握微分和定積分知識的要求有所提高，高職數學教材應適當減少這部分內容，不要讓學生浪費一學期的時間重復高中學習過的內容。因為，學生在高中的學習過程中都已經掌握微積分的基礎理論和常用的計算方法。教材在這部分內容上應從數學方法解決幾何、經濟等實際問題的能力訓練出發，通過微積分部分的學習，逐步培養學生的抽象概括能力、運算能力和綜合分析問題、解決問題的能力，從而提高學生學習數學的興趣。
2、線性代數部分：行列式、矩陣、方程組是線性規劃、企業管理等學科的重要基礎和工具。此部分的重點是計算方法、計算方法的應用。突出實際案例的選擇和編排，達到使線性運算直接用于企業管理之中的目的，讓數學和專業知識密切相關。
3、概率論與數理統計部分：概率論從數量上研究隨機現象的統計規律性，它是本課程的理論基礎。數理統計研究處理隨機性數據，它以概率論為基礎，建立有效的計算方法，進行統計推斷。目前，概率論與數理統計的理論與方法在經濟、金融與管理各個領域也有廣泛應用。同時，概率論與數理統計的理論與方法又向各個基礎學科，產生了一些邊緣性的應用學科，是經管類各專業的一門重要的基礎課和工具課。此部分重點是介紹數據統計方法，建立有效的統計方法，進行統計推斷及假設檢驗，突出概率計算在統計方法中的應用，使學生掌握概率論和數理統計的基本方法，并具備應用概率統計方法分析和解決實際問題的能力。
(二)改變模塊順序,增強數學的應用性與傳統的經濟數學相比，整合后的內容在知識結構順序上發生變化。由于學生在高中的學習中已經熟練掌握了微積分和定積分的部分知識，所以在高職數學的教材中就應該減少計算性的例題，增加與專業有關的例題。介紹積分的計算既可以傳授知識又可以滿足學生的求知欲，達到節省學時提高效率之目的。最后介紹積分的應用，讓學生把學到的知識用于實際問題之中。
(三)在各模塊內容中做好教學重難點的轉化教學內容和教學順序的改變使得教學重難點也應隨之改變。重新整合后的教學內容在以下幾個方面實現了突破：一是極限理論處理辦法是用復習方式一帶而過。二是中值定理的處理，中值定理是導數應用的理論依據，但中值定理的結論抽象，其定理證明更是難點。教學時可以用簡單的幾何解釋，使學生直觀地理解定理及其意義。三是定積分的運算及定積分的應用采取復習的方式，教材例題增加與專業相關的題型，從而提高學生應用數學知識解決與專業相關問題的能力。四是矩陣的乘法，矩陣的乘法歷來是學生學習的重點和難點，復雜的運算，讓學生感到困難、無用。在此選取了有代表性的某公司年度預算報表中的實際案例，不僅使復雜的矩陣乘法運算得以輕松的解決，也使學生享受到數學概念在實際工作中應用的樂趣。
五、小結
高職數學作為一門公共基礎課，在數學教學中突出應用不但是高職教育的目標要求，而且符合數學教學改革的趨勢，因此，在高中數學教學不斷改革的今天，高職教師必須對高職數學內容做全面的審視和反思，從高職數學課程設置、教材內容的改革等方面來尋求一種既能滿足高職教育的需求，又能有效提高學生學習質量的有效途徑。以最大化地體現“實用為主，夠用為度”的原則。
參考文獻：
[1] 人教版高中數學教材選修2-1[M] 人民教育出版社.2011.
[2] 人教版高中數學教材選修2-2[M] 人民教育出版社.2011.
[3] 胡龍.高等數學(上冊)[M].高等教育出版社.2006.
一、從高中數學知識鏈中認識函數
函數是必修1的重點內容,也是中學數學的基本概念之一。新課程數學從必修到選修,函數是其中一條主線,主要體現在必修1:函數概念和性質與基本初等函數I(指數、對數、冪函數);必修數學4:基本初等函數II(三角函數);必修數學5:數列(離散型函數);選修系列1-1(2-2):用導數研究函數的性質。
函數是研究方程、不等式、數列、線性規劃、算法、微積分的基本思想,函數模型是實際問題和幾何問題中研究最值的常用模型。
二、從高中數學內容和結構中認識函數
必修1中主要是:函數的概念、圖像和性質三種函數模型(指數、對數、冪函數)函數與方程函數模型及其數據應用。
必修4中主要是:角的概念及表示三角公式及應用三角函數的圖像三角函數的性質(單調性、奇偶性、周期性、對稱性)三角函數模型的應用。
必修5中主要是:數列的概念及表示方法兩種數列模型(等差、等比)a,S的研究數列模型的應用。
選修1-1(2-2)主要是:導數的概念及其幾何意義常見函數的求導公式及求導法則用導數刻畫單調性極大值、極小值最大值、最小值實際應用。
從高中所研究的初等函數來看,函數的研究的結構都遵循著以下幾種結構。
三、從高中數學的思維方式認識函數
1.兩條線索
一是抽象的數學研究,主要研究對象是符號y=f(x),符號化、形式化是數學的重要特征,如所有的函數關系都可以用抽象符號y=f(x)來表示,這種表示不僅形式簡單,而且可以加深對函數概念本質的理解。
二是具體的實例研究,主要研究對象是y=a,y=logax,y=x,y=sinx,y=cosx,y=tanx,以及初中學的y=kx+b,y=,y=ax+bx+c等函數,通過研究這些函數圖像,掌握這些函數的性質,對了解和掌握函數的性質具有形象直觀的優勢。
2.兩個角度
對高中函數的研究是從兩個角度進行的,一是從符號語言對函數進行精確的刻畫;二是從圖形語言對函數進行直觀的描述。這兩種角度貫穿了函數的學習的全過程,具體體現在以下幾個方面。
(1)函數的概念
在函數的概念中定義域的定義為所有輸入值x組成的集合,值域的定義為所有輸出值y組成的集合。其本質就是由符號的取值構成的集合,而這兩個函數基本概念用圖形語言描述為函數y=f(x)的圖像在x軸上的射影構成的集合即為定義域,在y軸上的射影構成的集合即為值域。如圖1,值域用圖形語言描述。
(2)函數的表示方法
函數有三種表示方法:列表法、圖像法、解析式法。
解析式即用一個關于x、y的二元方程f(x,y)=0來表示兩個變量之間的關系。圖像即把二元方程f(x,y)=0解構造為一個點集{(x,y)|f(x,y)=0},然后建立平面直角坐標系畫出函數的圖像。前者是通過式子用代數的方法刻畫了兩個變量之間的關系便于通過等式研究函數的性質,而后者是通過圖形用幾何的方法刻畫了兩個變量之間的關系能夠直觀反映函數值隨自變量值變化的趨勢。
如方程x+y=1(y≥0),根據函數定義可得,該二元方程即為函數y=,而該方程的解構造為一個點集{(x,y)|y=},畫出圖像如圖2所示。
(3)函數的性質
①單調性
符號語言:“>0”就是對自然語言“隨著x增大,y也增大”的精確刻畫。
圖形語言:
從左向右觀察,曲線在逐漸上升,這樣就是對自然語言“隨著x增大,y也增大”的直觀反映。
②奇偶性
符號語言:“?坌x∈D,f(x)=±f(-x),”就是對奇偶性的精確刻畫。
圖形語言:通過圖形關于y軸對稱和關于原點對稱直觀反映了函數奇偶性。
③周期性
符號語言:“?坌x∈R,f(x)=f(x+T)”就是對自然語言“周而復始”的精確刻畫。
圖形語言:通過圖形的不斷重復,直觀地反映了函數的周期性。
從函數的概念到函數表示與函數性質,我們可以發現高中函數的研究是從代數角度用符號語言和幾何角度用圖形語言這兩個角度來進行研究。
四、從高中數學感受與應用認識函數
1.函數與方程之間的關系
代數:ax+b=0相當于函數y=ax+b,當x=?時y=0?
ax+bx+c=0相當于函數y=ax+bx+c,當x=?時y=0?
f(x)=0相當于函數y=f(x)當x=?時y=0?
幾何:方程f(x)=0的根即為y=f(x)的零點。
2.函數與不等式之間的關系
代數:y=ax+b>0,y=ax+bx+c>0,即解不等式的解的問題就是函數值大于零或小于零時對應自變量的值。
幾何:如:x-5x>0的解集即為函數y=x-5x在x軸上方所對應圖像在x上投影的集合。
3.函數模型的應用
日常生活中有著太多的變量與變量之間的關系,如何用數學的方法來研究它們,而函數作為一個重要的模型之一,其發揮著巨大的作用。
用數學的方法來研究實際問題,其本質就是建立數學模型和數學方法的運用,其過程如下圖:
高中新課程對實際的應用進一步加大,其目的是想通過對函數的應用,使得以前我們對于數學與實際、數學與其他學科的聯系未能給予充分的重視,使得學生對數學的興趣日趨減少,認為數學就是做題,學數學沒用、升學有用等現象得到避免,通過數學應用的教學活動符合社會需要,有利于激發同學們學習數學的興趣,有利于增強同學們的應用意識,有利于拓寬學生的視野。
